集中和离散趋势

人 性,大多数人坚持走自己选择的路，但很少的人坚持追随自己选择的目标。,两湾似蹙非蹙罥烟眉， 一双似喜非喜含情目。,两湾似蹙非蹙罥烟眉， 一双似泣非泣含露目。,第三章 数据的集中和离散趋势,三、峰度、偏度 四、数据标准化,1 众数（Mode）,概念：一组数据中出现次数最多的变量值,特别注意：变量值可能是定类、定序、定距、定比中的 任意一种！ 变量值可能是数值，也可能是字符！,定类数据的众数,频数最大的变量值即众数,表1 在美国名列前10位的外国语种 单位：人,资料来源：U. S. Bureau of the Census, Statistical Abstract of the United States: 1997, 117th edition (Washington, DC: GPO,1997),定量数据的众数,表2 社会学生的年龄分布,频数最大的变量值即众数,例1,某企业一车间有30名职工，他们的工资收入情况如下表所示，请计算工资众数 表4 30名职工工资收入的频数分布表,众数出现的可能性,双众数,无众数,多众数,单众数,2 异众比例（Variation ratio）,表1 学生自我评定生存欲望情况 单位：人,表2 学生来源地 单位：人,众数的代表性,异众比例（Variation ratio）,定义 非众数组的频数占总频数的比例 公式 取值范围：0，1 异众比例，众数代表性 异众比例，众数代表性,例1 计算异众比例,表1 学生自我评定生存欲望情况 单位：人,表2 学生来源地 单位：人,V=33.3%,V=78.9%,3 中位数（Median）,概念：一个分布的中间点,案例和计算步骤 两个组同学年龄 甲组：19、20、23、22、21 乙组：17、23、18、19、32、23,排序 甲组：19、20、21、22、23 乙组：17、18、19、23、23、32,找到中间位置的值 奇数为中间位置的值 甲班：21 偶数为中间两个数的平均值 乙班：21,分位数,中位数 50%的数大于这个数，50%的数小于这个数 四分位数 下四分位数：25%的数小于这个数 上四分位数：75%的数小于这个数 例：75%的财富集中在25%的人手中 十分位数,箱线图,用途 可表示一组数据的最大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值,图1 11位同学的英语和统计成绩的箱线图,比较不同受教育程度成人收入分布的箱线图,图2 美国不同受教育程度的成人收入情况 注：每一个箱线图的两端，是分布的5%和95%的点。,4 极差/全距（range）,M=5 M=5,R=4 R=8,极差（range）是变量观测值中最大值与最小值之差,中位数的代表性,极差的代表性,极端值的影响 10，20，30，80 R=70 10，20，30，40 R=30,极差的代表性,四分位差（quartile deviation） Q=Q3Q1,Q=2 Q=6,5 平均数/均值（Mean）,是统计数据高低相互抵消的结果 是集中趋势的最主要的测度指标 适用于定距数据和定比数据，不适用于定类和定序数据,例3,例题 甲班：19、20、21、22、23 乙班：17、18、19、23、23、32 中位数： 甲班：21 乙班：21,简单算术平均数： 甲班：21 乙班：22,算术平均数（Arithmetic mean）,定义 全部数据的算术平均 公式 简单算术均值 加权算术均值,加权算术平均数（Weighted mean）,计算平均受教育年限 数据： 某公司员工：未上学10人，小学24人，初中83人，高中68人，大专及以上34人。 解：,（年）,三个重要的数学性质,各个变量值之和是均值的n倍（共n个数据） 各个变量值与均值的离差之和为零 各变量值与其均值的离差平方和最小,缺陷,易受极端值的影响 开口式分组条件下计算加权均值，假设性比较大，也会影响均值的代表性,几何平均数（Geometric mean）,通常用于计算比率平均或速度平均 公式 若将变量值取对数，几何平均数就变成均值形式,例4,某人持有一种股票，20032006年每年的收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算四年内的平均收益率。 (1.0384-1)×100=3.84% EXCEL：X(1/N) =POWER(X,1/N),平均数的代表性,A、B两组成绩，孰好孰坏？,A、B两组学生成绩,6 方差和标准差,方差（Variance） 各变量值与其平均数离差平方的平均数 标准差（Standard deviation，S.D.） 方差的平方根 标准差越大，变量值越分散，平均数解释力越低,方差的计算公式,总体方差 样本方差,自由度,概念 一组数据中可以自由取值的个数 当样本数据的个数为n时，若样本均值 确定后，只有n1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值，所以自由度为n1,例2 方差计算步骤,表3 A组同学身高,7 标准误,8离散系数/变异系数,概念 一组数据的标准差与其均值之比 公式 主要用于比较不同样本数据的离散程度 离散系数，数据的离散程度 离散系数，数据的离散程度 例题 A组： 9.600/36.0=0.267 B组： 9.013/29.5=0.306,小结,集中离散 众数异众比例 中位数极差 四分位数四分位差 平均数方差、标准差、标准误、离散系数 选用哪组测度指标要根据掌握的数据的类型和分析目的来确定,小结,众数,中位数,平均数,表1 不同层次数据的集中趋势测量指标,变量值 变量值 组中值 计算,简单算术平均数 加权算术平均数 几何平均数,中间位置的变量值,平均数、中位数、众数的优缺点,平均数、中位数、众数的比较,对称分布 左偏分布 右偏分布,是否还有其他可能？,三、数据分布形状的描述,偏态 峰度,偏态及其测度,偏态（skewness） 数据分布的不对称性 判断方向：可用众数、中位数、均值三者之间的大小关系大致判断数据分布是对称、左偏还是右偏 测度偏斜程度：偏态系数 未分组 分组,偏态系数,SK=0，数据分布是对称的 SK0，数据分布是右偏的 SK0，数据分布是左偏的 SK的绝对值越大，说明偏斜的程度越大,右偏/正偏,左偏/负偏,峰度及其测度,峰度（kurtosis） 与标准正态相比数据分布是平峰还是尖峰的特征 度量值：峰度系数k 未分组 分组,峰度系数,K=0，数据服从标准正态分布 KO，数据呈尖峰分布 K0，数据呈平峰分布,四、数据的标准化,用途 将具有不同量纲，或是不同分布形状是数据转化为标准化得分 方法 Z分数 01 0100,