数学线性代数

数学线性代数数学线性代数篇一：同济大学第五版工程数学线性代数课后习题答案 第一章 1 2 34 5 数学线性代数篇二：2016考研数学线性代数考试大纲 2016考研数学线性代数考试大纲 第一章：行列式 考试内容： 行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理 考试要求： 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质. 第二章：矩阵 考试内容： 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵等价 分块矩阵及其运算 考试要求： 1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质. 3.理解逆矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.理解矩阵的初等变换的概念， 5.了解分块矩阵及其运算. 第三章：向量 考试内容： 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间以及相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 考试要求： 第 1 页 共 1 页1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念. 2.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 3.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系 4.了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念. 5.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵. 6.了解内积的概念， 7.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质. 第四章：线性方程组 考试内容: 线性方程组的克莱姆(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件解空间 非齐次线性方程组的通解 考试要求 l.会用克莱姆法则. 2.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. 3.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念. 4.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法. 第五章：矩阵的特征值及特征向量 考试内容: 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵 考试要求: 第 2 页 共 2 页1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. 2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法. 3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 第六章：二次型 考试内容： 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 考试要求： 1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变化和合同矩阵的概念 了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理. 2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形. 3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法 2016年考研复习已经开始了，希望考生能够好好利用，做好规划。 第 3 页 共 3 页数学线性代数篇三：线性代数概念、性质、定理、公式整理 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 ? ?0? A可逆r(A)?n A的列（行）向量线性无关 A的特征值全不为0 Ax?只有零解 ?Rn A ?x?，Ax? ,Ax?总有唯一解 ?T ?A A是正定矩阵?A?E?A? p1p2?ps pi是初等阵 ? 存在n阶矩阵B,使得AB?E 或注 ：全体n维实向量构成的集合Rn 叫做n维向量空间. ?A不可逆 ? ?r(A)?nA?0? ?A的列（行）向量线性相关 ? ?0是A的特征值?Ax?有非零解,其基础解系即为A关于?0的特征向量 ?r(aE?bA)?n 注 aE?bA? ?(aE?bA)x?有非零解 ? ? ?=-ab 向量组等价 ? 矩阵等价(?)? ?具有 ?反身性、对称性、传递矩阵相似(?)? 性? 矩阵合同(?)? 关于 e1,e2,?,en： 称为?n 的标准基，?n 中的自然基，单位坐标向量p教材87 ； e1 ,e 2 ,?,en线性无关； AB?E e1,e2,?,en ?1 ； trE=n； 任意一个n维向量都可以用e,e 1 2 ,?,en线性表示.a11a12a22?an2 ? a1na2n?ann ? Dn? a21?an1 ? j1j2?jn (?1) ?(j1j2?jn) a1j1a2j2?anjn ? 行列式的计算： 行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. AO OBAO=AO?B ?BAO?A? OB mn ?AB 若A与B都是方阵（不必同阶）,则O B （拉普拉斯展 ?(?1) AB = 开式） 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ? a1n a2n?1 ?an1 O ?an1O a2n?1 ? Oa1n ?(?1) n(n?1)2 关于副对角线： a1na2n?an1 （即：所有 取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和） 1x1 2 1x2x2?x2 n?12 ? 1xnxn?xn 2 范德蒙德行列式： x1?x1 ? ?x 1?j?i?n i ?xj? n?1 ? n?1由m?n ?a11?a 个数排成的m行n列的表A?21 ?am1 a12a22?am2 ? ? ?a2n ?amn? 1n a 称为m?n矩阵. 记作：A?aij?m?n或Am?n A * ? ? Aij ? T ? ? A11A12?A1n A21A22?A2n ? ? An1? ?An2 ?Ann? ，A为A中各个元素的代数余子式. ij 逆矩阵的求法: A ?1 a 注： ? ? A?c A ? b? ?d? ?1 ?1 ? ?d? ad?bc?c1?b?主?换位 ? 副?变号a? (A?E)?(E?A) ?a1 ? ? a2 ?a3? ?1 初等行变换 ? ? m 1a1 1a2 1a3 ? ? ? ?a?3 a2 a1? ?1 ? 1a3 1a2 a1 ? 方阵的幂的性质：AA?A 设A则 m?n nm?n (Am)n ?(A) mn 1 ,Bn?s,A 的列向量为? 1 ,?2,?,?n,B的列向量为? ? ,?2,?,?s ， A?i?ci AB?Cm?s ? ?b11?b21 ?1,?2,?,?n? ?bn1 b12b22?bn2 ? b(来自:www.hnnSCY.cOm 博文学习 网:数学线性代数)1s?b2s ?c,c,?,c? 12s ?bns? ? ， (i?1,2,?,s) ? ? s ?i A?,? 为 Ax?ci cA,?c2,?,css1 的解 A?1, ? ?2,?1? A?s?, ?2? ?,c1?,n线?c?1,?2c,2?,?可由 , 性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵. T ?a11 ?a21 即： ? ?an1 a12a22?an2 ? ? a1n?1 ?a2n? ?2?amn?n?c1?a11?1?a12?2? c2a?a22?2 ?211 ? ? ?a?a?m22?cm?m11 ?a1n?2?c1?a2n?2?c2? ? ?amn?2?cm 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ?A 分块矩阵的转置矩阵：? ?C ?A 分块矩阵的逆矩阵：? ? ?A?O B?AT ?TD?B?B?C?B? ?1T TC?T?D? A? ?1 ?1 ?A?1?A?1?O ? ?1?B?BACB B ?1 ?1 ? ?1 ?A B ?1 ? ? n?A22? ?*?AB? ?1 ?A? ? ?C?O? ?B?1 ?A?1?1 ?BCA O?B? ?A11 分块对角阵相乘：A? ?B11?,B?A22? ?B22?A11B11 AB? ? A22B22? ?A? n?A11 ,A? ? n 分 ?B * 块对角阵的伴随矩阵： ?BA*? ?B? * mn? A?(?1)AB? ?(?1)mnBA? ? 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成 (I)AX?B 或 (II)XA?B 初等行变换 (I)的解法：构造(A?B)?(E?X) (II)的解法：将等式两边转置化为AX T T ?B， T 用(I)的方法求出X，再转置得X T 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动） 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动） 两个向量线性相关?对应元