【100所名校】2017—2018学年度安徽省高二年级第一学期第四次月考文科数学试题（解析版）

20172018学年度安徽省淮北一中高二年级第一学期第四次月考文科数学试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1设全集，集合， ，则（ ）A B C D 2已知双曲线，则其焦距为（ ）A B C D 3若， ， 与的夹角为，则（ ）A 2 B C 1 D 4下列命题错误的是（ ）A 命题“若，则”的逆命题为“若，则”B 对于命题，使得，则，则C “”是“”的充分不必要条件D 若为假命题，则均为假命题5已知向量， ，其中，若，则的最小值（ ）A B 2 C D 6若满足约束条件则函数的最大值是（ ）A B C D 7是抛物线上任意一点， ， ，则的最小值为（ ）A B 3 C 6 D 58抛物线的焦点为，准线为， 是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）A 2 B C D 1 二、填空题9抛物线的焦点坐标_10与双曲线有相同渐近线，且过的双曲线方程是_11点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得：在空间中，点到平面的距离为_12若点坐标为， 是椭圆的下焦点，点是该椭圆上的动点，则的最大值为，最小值为，则_三、解答题13在各项均为正数的等比数列中， ，且成等差数列.（1）求等比数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和的最大值.14已知在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.15数列满足， ， .（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.16已知抛物线C： ，点在x轴的正半轴上，过点M的直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点（1）若，且直线的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（2）是否存在定点M，使得不论直线绕点M如何转动， 恒为定值？17已知定点， 为圆上任意一点，线段上一点满足，直线上一点，满足.（1）当在圆周上运动时，求点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线交于两点，且以为直径的圆过原点，求证：直线与不可能相切20172018学年度安徽省淮北一中高二年级第一学期第四次月考文科数学试题数学 答 案参考答案1C【解析】因为全集，集合或, ， ，故选C.2D【解析】由双曲线，可知： ，焦距为故选：D3B【解析】由与的夹角为， ，故选B.4D【解析】对于，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，满足逆否命题的形式，所以正确；对于，对于命题，使得，则，则，满足特称命题的否定形式，所以正确；对于，“”是“”的充分不必要条件，因为时， 也成立，所以正确；对于，若为假命题，则均为假命题，显然不正确，因为一个命题是假命题，则也为假命题，所以不正确，故选D. 5C【解析】由已知得， ，当且仅当时取等号，故选C.6D【解析】试题分析：由约束条件画出可行域，由可行域可知，在点取得最大值，最大值为考点：线性规划7B【解析】抛物线的焦点坐标为 ，即是抛物线的焦点，准线方程为，过向准线作垂线，垂足为，则， 当三点共线时， 取得最小值，故选B.8D【解析】设，连接，由抛物线定义，得，在梯形中， ，由余弦定理得， ，配方得，又， ，得到，即的最大值为，故选D.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及余弦定理与基本不等式的应用，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.9(0, 【解析】抛物线化为标准方程为抛物线的焦点在轴上，且抛物线的焦点坐标是，故答案为.10【解析】设所求双曲线方程为双曲线过点所求双曲线方程为化为，故答案为.11【解析】类比点到直线的距离，可知在空间中，点到平面的距离为，故答案为.12【解析】椭圆即为，可得， ，那么， ，根据三角形三边关系可知， ， 即最大值，最小值， ，故答案为.【方法点睛】本题主要考查椭圆的定义及几何性质，属于难题. 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围13（1）；（2）当n=5时，Tn的最大值为25.【解析】试题分析：（1）设数列的公比为，由等差中顶和等比数列的通项公式列出方程组,结合题意求出的值,再代入等比数列的通项公式化简即可；(2)由（1）和题意化简，并判断出数列是等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前项和公式，再对进行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值.试题解析：（1）设数列an的公比为q，an0 因为2a1，a3，3a2成等差数列， 所以2a1+3a2=2a3，即，所以2q2-3q-2=0， 解得q=2或（舍去），又a1=2，所以数列an的通项公式 （2）由题意得，bn=11-2log2an=11-2n，则b1=9，且bn+1-bn=-2，故数列bn是首项为9，公差为-2的等差数列， 所以=-（n-5）2+25，所以当n=5时，Tn的最大值为25【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式以及等差数列的性质及前项和的最值，属于难题.求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：将前项和表示成关于的二次函数， ，当时有最大值（若不是整数， 等于离它较近的一个或两个整数时最大）；可根据且确定最大时的值.14（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）结合正弦定理将已知关系式中的边化为角，得到关于角的三角函数值，进而求得的大小；（2）由和利用余弦定理可得到关于边的方程，借助于不等式性质求得的范围，从而得到三角形面积的最值试题解析：（1）= = （2）由余弦定理考点：1正余弦定理解三角形；2不等式性质【方法点睛】解三角形的问题主要利用正余弦定理求解，本题中将已知的边角关系通过正弦定理转化为三角形的三个内角表示，从而得到所求角的三角方程，可求角的大小；求三角形面积的最大值只需要求解的最大值即可，由已知条件边角可借助于余弦定理得到满足的关系式，借助于不等式性质即可求得范围，或利用正弦定理将两边化为，借助于三角函数有界性求最值15(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）证明：在原等式两边同除以，得，即，所以是以为首项， 为公差的等差数列.（2）由（1）得，所以，从而.用错位相减法求得.试题解析：（1）证：由已知可得，即所以是以为首项，1为公差的等差数列（2）解：由（1）得，所以，从而得：所以12分考点：1.等差数列的证明；2.错位相减法求和.16（1）以AB为直径的圆的方程是；（2）存在定点，满足题意【解析】试题分析：（1）由题意得，直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得圆心坐标和圆的半径，从而可得圆的方程（2）若存在定点这样的点，使得恒为定值；直线： 与抛物线C： 联立，计算,，利用恒为定值，可求出点的坐标试题解析：（1）当时， ，此时，点M为抛物线C的焦点，直线的方程为，设，联立，消去y得， ， ，圆心坐标为又，圆的半径为4，圆的方程为（2）由题意可设直线的方程为，则直线的方程与抛物线C： 联立，消去x得： ，则， ，对任意恒为定值，于是，此时存在定点，满足题意考点：1、圆的方程；2、直线与抛物线的位置关系；3、定点定值问题【思路点晴】本题主要考查的是圆的方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系、恒成立问题等，属于综合性较强的难题；直线与圆锥曲线的位置关系问题，解题方法都是联立方程，正确运用韦达定理是关键；对于存在性问题，先假设存在，根据恒为定值的条件，求出点的坐标即可；如果求出来是空集，则不存在17（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，直线上一点，满足，可得 为线段 的垂直平分线，求出圆的圆心坐标为，半径为，得到，利用椭圆的定义，求解点的轨迹的方程即可；（2）当直线的斜率存在时，设直线为，联立直线与椭圆的方程，得，消去，利用判别式以及韦达定理，结合，可证明直线与一定相交，从而可得结论.试题解析：（）由，直线上一点，满足，可得 时线段 的垂直平分线，求出圆的圆心坐标为，半径为，得到，点M的轨迹是以N、Q为焦点，长轴长为的椭圆，即2a=，2c=，b= 所以点M的轨迹C的方程为： （）当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，得消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-6）0，化简得：m26k2+3由韦达定理得： ，x1x2+y1y2=0，即， 整理得m2=2k2+2满足式，d=，即原点到直线l为的距离是，直线l与圆x2+y2=4相交 当直线的斜率不存在时，直线为x=m，与椭圆C交点为A（m，），B（m，），此时直线为x=，显然也与圆x2+y2=4相交综上，直线l与定圆E：x2+y2=4不可能相切