数字信号处理 第2版 教学课件 ppt 作者 张小虹 6数字信号处理5

理想系统的频响特性Hd(ej)， 设计一个可实现系统,时域最小平方误差设计有的也称最小平方逆设计或反,问题是从实际应用中引出的。,按时域平方误差准则逼近希望的输出。,确定系统函数H (z)。这时要求所设计的滤波器输出是,差设计，是在Hd(ej )不确定的情况下，设计H (ej)、,的H(ej)去逼近它。本节所讨论的时域最小平方误,(逆)滤波。前面几节讨论的设计方法都是已知某个,§6.7 最小平方误差（逆）设计,6.7.1、混响,在许多实际问题中，信号数字处理的目的是抑制干扰，,突出有用信号，以提供进一步的分析利用。为了有效,如低、高、带通、带阻等，仅适用于有用信号与干扰,信号在频谱上分离的情况。若干扰与信号频谱重合，,例如干扰是由信号的“回声”引起的。这时“回声”的频谱,除了振幅与相位与信号频谱有区别外，基本与原信号,相同；无线信道的多径效应等现象也与此类似，而由,选频滤波器是无法消除这种干扰的。,做到这点，“对症下药”很重要。前面讨论的选频滤波器,例 信号叠加了回声序列,先从时、频与两个方面考察单个回声的情况。,由上式可见，回声干扰相当对原信号做了一次简单的,FIR滤波。其传递函数为,(6.7-2),这时,Hd(z)=1+zn0,为了从y(n)中恢复x(n)，只要让输出序列经过一个,的IIR滤波器即可。显然，这时的h(n)为,回声。,当滤波因子取得足够长，也可以用FIR滤波器近似消除,(6.7-3),h(n)= (n)+( ) (nn0) +( )2 (n2n0),注意到不论IIR FIR 滤波器，消除回声都必须知道,和n0。而它们往往是未知的，只能从 y(n)中估计出来。,上例是回声最简单的情况。如果声音在大厅中，它会,在墙壁上来回反射，形成轰鸣声，这就是“混响”现象。,如果希望从混响干扰中把信号恢复出来，就有解混响,问题。,最简单的混响模型，是 “回声”又产生了回声项,若取无穷项（一般只有有限项），信号x(n)由于混响,成为,(6.7-5),2x(n2n0)、如此循环，还有三次项3x(n3n0)等等。,y(n)= x(n)+x(nn0) + 2x(n2n0)+3x(n3n0)+,式(6.7-7) 说明无穷项的混响干扰相当一个IIR系统。,当然还有更复杂的混响问题，如地震波、无线电信号,(6.7-6),(6.7-7),对上式作z变换,Y(z)= X(z)1+zn0+ z2n0 +,此时要提取信号x(n)可经过H(z)=1zn0的FIR系统。,等。,以认为是“干扰”滤波器。,6.7.2、一般反滤波问题,上面介绍的信号及系统模型，使我们看到回声对原信号,的干扰，本质上不同于随机信号干扰，可以说是特殊的,规则干扰。消除这类干扰，就是要利用其中的规则性。,这个规则干扰等效对原信号做了我们不希望的滤波，所,将“干扰”滤波器的脉冲响应及z变换记为hd(n)Hd(z),我们有,y(n)= x(n)hd (n) Y(z) =X(z) Hd(z),反滤波的问题就是要从y(n)中提取 x(n)，即找到一个,波（反滤波）也称为“反卷积”或“解卷积”。,因为所对应的时域运算是对卷积求逆运算，因此逆滤,单位脉冲响应、传递函数为h(n)H(z)的滤波器，,使得,显然此时的最佳逼近滤波器的系统函数为,h(n) y(n)= x(n) Y(z) H(z)=X(z),不过要把理论上的简单解答，直接用于各种实际问题，,会遇到许多困难。首先，我们不可能对“干扰”滤波器,的Hd(z)掌握很详尽。即使由前面简单问题得到的,另一方面，实际问题往往比这些简单模型复杂的多，所,包含的变化参数也很多，而可以充分利用、挖掘的只有,y(n)，只能通过它找到实用的算法。,尤其是 ，往往只能从y(n)本身去估计测定。,如果 、n0的数值不准确，反滤波的效果会很差。,1+ zn0 、(1zn0)1，也很难确切掌握 、n0的数值。,其系统函数与冲激响应分别为Hd(z)、hd(n)，若将它的,近1/Hd(z)，DF的输出v(n)将逼近x(n)。,输出 y(n)送入一个系统函数为H(z)的DF，只要H(z)逼,如图6.7-1所示反滤波的框图，干扰滤波器为因果系统、,有限时宽0，1，2，N(相当于取有限次回声)，,特别的，若x(n) = (n)时，数字滤波器的输出v(n)逼近, (n)。为了求解反滤波问题，先避开在频域求H(z)，直,接在时域考虑。,h(N)，使得hd(n)经过它之后的输出v(n)尽可能接近单位,脉冲序列 (n)。即要求,假设所设计滤波器的脉冲响应为h(0)、 h(1)、 h(2)、,这样，用h(n)(仅在0nN为非零值)的前N+1项，对,达到了反滤波的目的。这里要求v(n)尽可能接近(n)，,评价函数用的是时域最小平方准则，即,(6.7-11),输入序列y(n) =hd(n) x(n)进行滤波，得,h(n) y(n)= h(n)hd(n) x(n),d(n)与y(n) 之差的平方和为,及三个信号：输入x(n)；输出y(n)；希望输出d(n)。,(6.7-12),E是时域误差的平方和，若有h(n)使其最小，则该滤波,器就是时域最小平方误差滤波器。,6.7.3、最小平方滤波,一般滤波的模型如图6.6-2所示。由图可见实现滤波涉,在因果FIR滤波器的情况下，实际输出为,所以,(6.7-13),式(6.7-14)中的d(n)、x(n)是已知的，要使E最小，则,求E对各系数h(i) (i =0,1,2,N)的导数，并令其为零，,即,(i=0,1,2,N),(6.7-15),(6.7-14),而由,(6.7-17),(6.7-16),可得到,等式右边中的,可记为,自相关序列仅与序列自身的相对位移有关。,互相关序列与两序列的位移有关。,可记为,(6.7-18),式(6.7-16)的等式可以表示为,i=0,1,2,N,(6.7-19),上式表示的是线性方程组，将线性方程组表示为矩阵,形式，则,注意到自相关序列具有偶对称性,可以记为,xx(i，k)= xx(k，i),xx(i，k)= xx(k，i) = rxx(ki),互相关序列只与两个序列的位移有关，可以记为,xd(i，0)= rxd(i),代入式(6.7-20)为,rxxh =rxd,N+1个值完全确定。这个矩阵是托布里兹(Toeplitz)矩,上式的系数矩阵是对称的，并且沿着主对角线平行直线,上排列的元素全部相等。因此，N+1阶方程实际上由,它的解可以用一组递推公式快速计算。,阵，相应的线性方程组为托布里兹(Toeplitz)方程组。,式中，rxx阵是一个(N+1) (N+1)的对称、正定(所有,系数大于等于零)方阵；h阵是一个N1的列矩阵；,rxd阵是一个N1的列矩阵。,6.7.4、最小平方反滤波,现在回到反滤波问题上。根据式(6.7-9)、(6.7-10)的要,求，这时输入序列是hd(n)，希望输出的序列d(n)是(n),且有,当m0时，hd(m)=0，故只有rhd (0)= hd(0)应取非零,值。令hd(0)=1(否则只要将序列乘以一个常数即可)。,将(6.7-21)式方程组中rxx改写为rhh；rxd改写为rhd，并,这样(6.7-22)式在最小平方反滤波时为,N 1的列矩阵；rhd 阵是一个N 1的列矩阵。,式中rhh 阵是一个(N+1) (N+1)的对称方阵；h阵是一个,上例可见，为了计算rhh(n)，就得知道hd(n) 。,这个托布里兹(Toeplitz)方程组的形式更特殊一些，求,解计算也比(6.7-21) 式更快。,粗看，最小平方反滤波的问题解决了，其实不然。从,许多实际问题的情况)，给出计算rhh(n)的近似方法。,这实际是一个苛刻的要求。不过在一些实际问题中，,可以从对y(n)以及x(n)的某些特性了解来寻求的hd(n),估计值。假设x(n)是不相关、统计独立的序列(这符合,即当信号x(n)的自相关函数满足,式中Ex=rxx(0)是自相关函数，也是x(n)的能量，这时有,表明不计常数因子，可以直接用ryy(m)代替rhh(m)。,这样，不必求hd(n)的具体数值，就可以实现最小平方,反滤波。,6.7.5、时域最小平准则方设计方法,在实际应用中，如图6.7-1 反滤波的框图所示。,若给出的已知条件是输入序列y(n)与希望的输出序列,d(n)，则要求所设计的滤波器输出v(n)按照时域平方,误差最小准则逼近给定的d(n)。,按照设计要求，h(n)应满足下列关系,(6.7-26),且v(n)与d(n)的近似程度应使它们各样点值之差的平方,和最小,特别的，若v(n)=d(n)，误差E=0。这时很容易由已知,的y(n)、d(n)求出系统函数H(z)为,H(z) = Z d(n)/ Z y(n),系统差分方程。,例6.7-1 已知某逆滤波器的输入y(n)=3,1，希望的,d(n)=1,0.25,0.1,0.01，求逆滤波器的系统函数H(z)、,解,Y(z)=3+z1，,D(z)=1+0.25z1 +0.1z2 +0.01z 3,H(z)是IIR DF的系统函数，对应的系统差分方程为,从此例可见，一般情况逆滤波器系统的系统函数H(z)是,IIR DF。由D(z)/ Y(z)实现的逆滤波器应该没有误差。,Y(z)=3+z1，,D(z)=1+0.25z1 +0.1z2 +0.01z 3,的IIR DF的系统函数H(z)。,不过，若输入序列y(n)有M+1个样值，输出序列d(n)有,N+1个样值，则H(z)的系数一般是M+N+1个（通常取,d(n)最高项系数1）。当M、N较大时，滤波器要求的,存储量较大，且计算时间长，这是不希望的。所以要,对滤波器的精度和实现的经济性进行折衷考虑：既要,求所设计IIR DF的H(z)系数少于M+N+1个， 又要使,的思路，利用FIR hd(n)的N+1个系数设计N+1个系数,输出满足平方误差最小的精度。这就要按照上面提出,第二步根据 hd (0)、hd (1)、hd (N)求出IIR DF的系,设计方法主要分为两个步骤：,第一步 先求出FIR DF的单位脉冲响应hd(n)：hd(0)、,hd(1)、 、hd(N)。,统函数H(z)，即确b0、b1、a1、a2 、。,1)、第一步先求出FIR DF的单位脉冲响应h(n),换为y(n)。可见是相同的分析方法，可以得到相同的设,上式与最小平方滤波分析时的误差公式相比只是将x(n),计结果。,将v(n)= y(n) h(n)代入式(6.7-26),i=0,1,2,N,可以得到N+1个线性方程，表示为矩阵形式为,(6.7-28),ryy h =ryd,解此矩阵方程，求出滤波器的h(n) (n=0,1,2,N) 。,h(n)是有限项的，其z变换,(6.7-29),式中ryy阵是一个(N+1) (N+1)的对称、正定(所有系,数大于等于零)方阵； h阵是一个N 1的列矩阵；,ryd阵是一个N 1的列矩阵。,2)、第二步根据求出的h(n)再求出IIR DF的系统函数,H(z)。,(6.7-30),要让(6.7-29)、(6.7-30)相等，从而找出由h(n)求,ak (k=1,2,N1)、bk (k=1,2,M)的关系式。,为了得到IIR DF的系统函数,上式两边z-i项(0iM)的系数应相等，于是有,或,(6.7-32),(6.7-33),(0iM),其中N1 =N-M,由于bk (k=1,2,M)在k M后为零，即bi =0在(i M)，,代入式(6.7-32)可得到：,式中M为分子系数的个数； N1 =N M为分母系数的,(M +1iN) (6.7-34),个数。,由(6.7-34)式可以求出ak，然后代入(6.7-33)中求出bk。,最终求出H