【100所名校】2017-2018学年江苏省高二上学期阶段测试（二）数学试题（解析版）

2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）数学试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1命题，使得的否定为_.2抛物线的准线方程是_3在等差数列中，已知，则的值为_.4下列命题：或；命题“若，则”的否命题；命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为_.5能够说明“设是实数若，则”是假命题的一个实数的值为_6“”是“或”的_条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）7已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为_.8关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_.9设满足，则的最大值为_.10我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知，是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是_11在等比数列中， ，则能使不等式成立的最大正整数是_.12已知实数满足，则的最小值为_13各项均为正数的等比数列中， ，若从中抽掉一项后，余下的项之积为，则被抽掉的是第_项14设是正实数，满足，则的最小值为_二、解答题15命题：实数满足（其中），命题：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为， ，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在椭圆上，且，求的值.17已知各项均为正数的数列的首项， 是数列的前项和，且满足：.（1）若成等比数列，求实数的值；（2）若，求证：数列为等差数列；（3）在（2）的条件下，求.18如图所示的自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形，其中为2米，梯形的高为1米， 为3米，上部是个半圆，固定点为的中点. 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和平行.当位于下方和上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）.（1）设与之间的距离为（且）米，试将通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；（2）当与之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积取得最大值？19已知椭圆： 的左焦点为，离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于， 两点.（i）若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足， .求证： 为定值；（ii）若（为原点），求面积的取值范围.20若存在常数、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、3.当时，求；当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）数学试题数学 答 案参考答案1，使得【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：命题，使得的否定为，使得.2【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填322【解析】试题分析：因为，所以考点：等差数列性质41【解析】真，因为p或q命题是，p,q中，只要一个为真即为真。真，否命题为：“若，则”，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式方向不变。错，逆命题为：“若两上四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”，为错，如等腰梯形的对角线相等，但不是矩形。所以填1.52【解析】因为，故 ， 等号成立的条件为 ，故当 时函数值等于3.此时不满足题干。故答案为2 。点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。6充分不必要【解析】不妨设P:“”,q:“或”： ， 且，显然而且推不出，所以，且推不回去，即“”是“或”的充分不必要条件，填充分不必要。【点睛】当命题p与q的关系不好判断时，我们可以考虑写出命题p,q的否定，即与，分析出与的关系，再根据互为逆否命题同真同假进行判断。7【解析】由题意可得,9+a=13,所以，所以双曲线方程，填。8【解析】由题意可得且，所以不等式的解集为，填【点睛】解一元二次不等的步骤为，先化标准式，即不等式右边为0，左边最高次系数为正。第二步找到不等式所对应方程的根，一般进行因式分解或判断判别式后用求根公式。第三步是结合不等式所对应函数图像写出不等式解集。如果有参数要对参数进行分类讨论。即一元一元不等和一元二次不等式的解集分界点是所对应方程的根。92【解析】根据约束条件画出可行域如下图，目标函数z=x+3y,可化为，即求截距的最大值。所以过时， ，填2。10【解析】试题分析：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，则，所以，又由余弦定理得，即，代入得，又由题意，即，代入得，（1舍去），所以考点：椭圆与双曲线的几何性质【名师点睛】在椭圆与双曲线的问题中，出现焦点三角形时，要用到椭圆（或双曲线）的定义，即曲线上的点到两焦点的距离之和（差）为常数（长轴长（或实轴长）象本题，由此可把点到两焦点的距离用表示出来，再在中应用余弦定理，建立起与的等量关系，而这正是求离心率所需要的11【解析】由，得， ，代入下式= ，可得，填。【点睛】统一成一个变量是解决本题的关键，当出现多个变量时，我们常用变量与变量之间的关系统一成一个变量，或通过换元转化成其它的变量，同时注意变量范围。12【解析】 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.1313【解析】由题意可得，设抽掉的一项为，则，得=，化简得，即，所以，即m.逐一检验m=3,4,13,可得m=t=13符合。填13。【点睛】本题有变量q,t,m但是只有两个等式，一般我们先估算出某个参数范围，再利用的整数进行检验，逐个排除法。即变量个数大于方程数时，我们需要先估计出某个参数范围，再利用整数性进行逐个检验，另有些是多个变量可以通过换元转化成一个变量。14【解析】， ，令当且仅当时取“=”， 则的最小值为15（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）由,解出命题P为真时的x范围，和q为真时x范围，再由为真，即p和q都为真，两个范围做交运算。（2）因为是的充分不必要条件，则，可得实数的取值范围。试题解析：（1）由得，又，所以，当时， ，即为真时，实数的取值范围是，由得，解得，即为真时，实数的取值范围是，若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.（2）由（1）知： ，则： 或，： ，则： 或因为是的充分不必要条件，则，所以解得，故实数的取值范围是.【点睛】为真，即p与q同时为真。为假，即p与q中至少有一个为假。 为真，即p与q至少有一个为真。为假，即p与q同时为假。16(1) ；(2) 或.【解析】试题分析：（1）c=4, ,可解得椭圆标准方程。（2）用坐标表示向量式，即用表示M点坐标，代入椭圆方程，可求得的值。试题解析：（1）依题意，设椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为（2）点的坐标为点在椭圆上，即，解得或.【点睛】解析几何有向量表达式时，我们一般先看一看有没有几何意义，如果没有显著几何意义，一般把向量关系转化为坐标关系再进行运算。17(1)1；(2)证明见解析；(3) .【解析】试题分析：（1）在题中等式中分号令n=1,2,3,解出（用表示），利用解得。（2）由于要证数列为等差数列，所以要构出相除的形式，只需把题中等式两边同时除以，即可证。（3）由（2）.再由，解得，代入上式中可得。试题解析：（1）令，得令，得，所以由，得，因为，所以.（2）当时， ，所以，即所以数列是以2为首项，公差为的等差数列，所以，即.（3），当时， ，-得， 即，所以，所以是首项为的常数列，所以，代入得.【点睛】当数列同时出现时，我们常用统一成或做，但是要注意n范围的变化，是否需要检验首项或前面几项。18（1），（2）当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.【解析】试题分析：（1）三角形的面积与x的关系是分段函数，所以分类讨论即可（2）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案试题解析：解：（1）当时，过作于（如下图），则， ， ，由，得， ；当时，过作于，连接（如下图），则， ，综上： ；（2）当时， 在上递减，；2°当时， ，当且仅当，即时取“=”，此时，的最大值为，答：当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.19（1）椭圆的标准方程为；（2）-4；.【解析】试题分析：（1）根据左焦点坐标得，根据左准线方程得，解方程组得，（2）以算代证：即利用， 坐标表示，根据直线的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理化简得定值，的面积，因此根据直线的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求（用斜率表示），同理可得，代入面积公式化简可得.最后利用二次函数方法求值域，注意讨论斜率不存在的情形.试题解析：解：（1）由题设知， ， ， ，： .（2）由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.设， ，直线代入椭圆得，整理得， ， ， .由， 知， ， （定值）.当直线， 分别与坐标轴重合时，易知的面积，当直线， 的斜率均存在且不为零时，设： ， ： ，设， ，将代入椭圆得到， ，同理， ，的面积 .令 ， ，令，则 .综上所述， .点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20（）6，（）或.【解析】试题分析：（）实际考查对新定义的理解：，再代入即得结果题目暗示每三项一组进行分组求和：分组后成等差数列，首项为12，公差为18，项数为，因此，而不等式恒成立问题一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：，再根据数列单调性求其最大值：为第二项（）分与两种情况，分别表示出，并