【100所名校】2017-2018学年高一上学期第二次阶段性检测数学试题（解析版）

2017-2018学年湖南师范大学附属中学高一上学期第二次阶段性检测数学试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2，则此直线方程为A B C D 2利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,得到下列结论,其中正确的是A正三角形的直观图仍然是正三角形B平行四边形的直观图一定是平行四边形C正方形的直观图是正方形D圆的直观图是圆3设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A 若，则B 若，则C 若，则D 若，则4已知函数，则的值是A 6 B 5 C D 5一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是ABCD6若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是A B C D 7若实数满足，则关于的函数的图象大致是A B C D 8已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为A B C D 9已知定义在上的函数满足：对任意正实数，都有，且当时恒有，则下列结论正确的是A 在上是减函数B 在上是增函数C 在上是减函数，在上是增函数D 在上是增函数，在上是减函数10把正方形沿对角线折起，当以， ， ， 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为A B C D 11如下图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是A B C D 12若函数的图象和直线无交点，给出下列结论：方程一定没有实数根；若，则必存在实数，使；若，则不等式对一切实数都成立；函数的图象与直线也一定没有交点其中正确的结论个数有A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二、填空题13无论为何值，直线恒过一定点，则点的坐标为_14如图，长方体中， ， ，点， ， 分别是， ， 的中点，则异面直线与所成的角是_15已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_16对定义在区间上的函数，若存在常数，使对任意的，都有成立，则称为区间上的“阶增函数”已知是定义在上的奇函数，且当 ， 若 为上的“4阶增函数”，则实数的取值范围是_三、解答题17已知直线（1）若，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离18一只小船以的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以的速度前进（如图），现在小船在水平面上的点以南的40米处，汽车在桥上点以西的30米处（其中水平面），请画出合适的空间图形并求小船与汽车间的最短距离（不考虑汽车与小船本身的大小）19如图，已知三棱柱的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为（1）求三棱柱的体积；（2）证明：平面平面20已知是定义在上的奇函数，且当时， （1）求的函数解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围21如图（甲），在直角梯形中， ， ， ，且， ， 、分别为、的中点，现将沿折起，使平面平面，如图（乙）（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值22已知函数， 且（1）当时，设集合，求集合；（2）在（1）的条件下，若，且满足，求实数的取值范围；（3）若对任意的，存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围2017-2018学年湖南师范大学附属中学高一上学期第二次阶段性检测数学试题数学 答 案参考答案1C【解析】直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，又在轴上的截距为2，即过点所以直线方程为 故选C2B【解析】试题分析：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,平行关系不变,所以平行四边形的直观图一定是平行四边形,故选B.考点：斜二测画法.3C【解析】若,，则或，即选项A错误；若，则或，即选项B错误；若，则平行或垂直或相交，即选项D错误；故选C.4A【解析】= ，则的值是6故选A5D【解析】解：根据三视图可知该几何体是半个圆锥躺放在平面上，可知底面半径为2，高为，母线长为6，这样可以得到该几何体的表面积为6C【解析】联立两直线方程得： 解得：x=，y=所以两直线的交点坐标为因为两直线的交点在第一象限，所以得到解得 所以直线的倾斜角的取值范围是故选C7B【解析】把 变形得 选B故8C【解析】因为正视图，侧视图和俯视图都是边长为1的正方形，将三棱锥按如图所示放在正方体中，则其外接球的直径等于正方体的对角线长，因为正方体的棱长为1，则其对角线长为，外接球半径为 所以表面积 故选C 9A【解析】设 则 从而 即 所以在上是减函数故选A点睛：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性的定义，注意条件的运用和理解，属于中档题10C【解析】如图，当平面BAC平面DAC时，三棱锥体积最大取AC的中点E，则BE平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为DBE，DBE=.故选C.11B【解析】设正方体的棱长为 ，显然，当 移动到对角线 的中点 时， 取得唯一最大值，所以排除 ；当在 上时，分别过 作底面的垂线，垂足分别为 ，则 ，故选B.12C【解析】因为函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以f（x）x（a0）或f（x）x（a0）恒成立因为ff（x）f（x）x或ff（x）f（x）x恒成立，所以ff（x）=x没有实数根；故正确；若a0，则不等式ff（x）x对一切实数x都成立，所以不存在x0，使ff（x0）x0；故错误；若a+b+c=0，则f（1）=01，可得a0，因此不等式ff（x）x对一切实数x都成立；故正确；易见函数g（x）=f（-x），与f（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）和直线y=-x也一定没有交点故正确；故选C点睛：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知得到f（x）x（a0）或f（x）x（a0）恒成立是解答本题的关键13【解析】直线即 故点的坐标为14【解析】连接，由于，所以即为所求， ，满足勾股定理，故15【解析】当a=0时，f（x）=此时对任意x0，都是方程f（f（x）=0的实数根，故不成立；当a0时，函数f(x)的图象如下，由f（f（x）=0得，f（x）=1；f（x）=1有且只有一个解，故成立；当a0时，函数f(x)的图象如下，根据函数的图象可判断f（x）的零点为：1由f（f（x）=0得，f（x）=1；若使f（x）=1有且只有一个实数解，根据图象可判断：0a1，故答案为（-，0）（0，1）16【解析】因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，则当x0时，f（x）=-f（-x）=-|x+a2|+a2所以函数的最大零点为2a2，最小零点为-2a2，函数y=f（x+4）的最大零点为2a2-4，因为f（x）=|x-a2|-a2若f（x）为R上的“4阶增函数”，所以对任意xR恒成立，即函数y=f（x+4）图象在函数y=f（x）的图象的上方，即有2a2-4-2a2，所以a取值范围为（-1，1）故答案为点睛：本题属于信息给予题，准确理解“k阶增函数”概念是解题关键，考查了利用奇偶性求解析式，考查了转化思想，属于中档题.17（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由两直线垂直可知两直线斜率之积为-1，或一条斜率为0，另一条斜率不存在；（2）由两直线平行可知斜率相等，由此求得a值，通过两直线的系数可求得直线间的距离试题解析：（1）由知，解得； 4（2）当时，有解得， 8，即，距离为10考点：两直线平行垂直的判定及直线间的距离18时最短，最短距离为【解析】试题分析：设经过时间汽车在点，船在点（如图），则， ， ，且有， ， 设小船所在平面为确定的平面为，记，由得又水平面，即作，则连接，则再由， 得，利用勾股定理得出 ，即可得出AB最短距离.试题解析：设经过时间汽车在点，船在点（如图），则， ， ，且有， ， 设小船所在平面为确定的平面为，记，由得又水平面，即作，则连接，则再由， 得，所以 ，所以时最短，最短距离为19（1） （2）详见解析【解析】试题分析：（1）由题意求出棱长，再求出三棱柱ABC-A1B1C1的底面面积，再求出高AA1，即可求出棱柱的体积（2）连接AD，B1D，平面A1BD内的直线OD垂直平面A1ABB1内的两条相交直线A1B，AB1，即可证明平面A1BD平面A1ABB1试题解析：(1)如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点运动到点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线设棱柱的棱长为，则，为的中点，在中，由勾股定理得，即解得，（2）设与的交点为，连结，平面又平面，平面平面20（1）（2）【解析】试题分析：（1）因为是定义在上的奇函数，所以当时， ， ，又，所以可得的函数解析式（2）当时， ， 在上是增函数，因为是定义在上的奇函数， 在上是增函数，所以 恒成立， 恒成立，求函数在上的最大值即可得实数的取值范围试题解析：（1）因为是定义在上的奇函数，所以当时， ， ，又，所以的函数解析式为（2）当时， ， 在上是增函数，因为是定义在上的奇函数， 在上是增函数，所以 恒成立， 恒成立，由于函数在上单调递增，所以，即，即 21(1)详见解析(2) 【解析】试题分析：（1）欲证平面FHG平面ABE，只需证明线面平行，故只需要在平面FHG中寻找两条相交直线与平面平行；（2）这时，从而，过点作于，连结因为，所以面因为面，所以,所以面，因为面，所以， 所以是二面角的平面角，由得，得所以在中即可得解.试题解析：（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形为正方形，如图（乙），分别为的中点，面， 面面同理可得面，又,