信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第4章-傅立叶分析 《信号与系统》书稿-4-7

ThemeGallery PowerTemplate,§4-7 傅立叶级数的性质,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,傅立叶级数的性质,傅立叶级数性质的应用,内容安排,4-7-1 线性,4-7-2 时移性质,4-7-3 频移性质,4-7-4 时间反转,内容安排,4-7-5 时间尺度变换,4-7-6 高次谐波,4-7-7 时域微分,4-7-8 时域积分,4-7-9 信号相乘,4-7-10 信号共轭,4-7-11 帕塞瓦尔定理,4-7 傅立叶级数的性质,前已叙及，周期连续信号的傅立叶级数表示具有一系列重要的 性质，这些性质对于读者在概念上深入理解傅立叶分析是非常有用 的。除此之外，这些性质还有助于简化傅立叶级数的复杂计算。 在后续讨论傅立叶变换时还将看到，傅立叶级数表现出的大部 分性质都可以从对应的傅立叶变换的相关性质中推演出来。为方便 讨论，下面将用一种简便符号描述一个周期信号和它的傅立叶级数 之间的关系。 设周期信号x(t)的周期为T，基波角频率,，如果x(t)的傅,，则用,表示一个周期信号及其傅立叶系数的对应关系。,立叶系数记为,4-7-1 线性,设x(t)和y(t)是两个周期同为T的周期信号，它们的傅立叶系数,和,，即,则容易证明x(t)和y(t)的线性加权组合Ax(t)+By(t)的傅立叶系数为,如果x(t)和y(t)的基波周期不同，则需用周期变换性质。,分别为,（4-7-1）,4-7-2 时移性质,如果,则,时移性质表明，周期信号在时间轴上的移位对应于傅立叶系数 乘以一个谐波次数为 k 的复函数。该性质的一个应用是，当一个 周期信号在时间轴上移位时，其傅立叶系数的模（也即幅度频谱） 保持不变。,（4-7-2）,4-7-2 时移性质,证明：设,，则,4-7-2 时移性质,例4-7-1 求函数,解：由附录可知,若将,写成,上式中,，,，因为已知,的傅立叶系数。,4-7-2 时移性质,故应用时移性质可得到,4-7-3 频移性质,如果,则,注意时移和频移的对偶性，即一个域的移位对应另一个域乘以 一个复指数。 证明：设,，其中,是整数。则,（4-7-3）,4-7-3 频移性质,如果将周期信号的傅立叶系数,分别向左（上）频移,个单位，,，以及向右（下）频移相同量,，有,，若令,则利用线性和频移性质，有,因此在频域（谐波项）中向左（上）和向右（下）频移相同量,等于在时域乘以该频率（谐波项）的余弦函数。这种运算就是在 通信系统中具有重要意义的调制操作。,得到,4-7-4 时间反转,如果,则,时间反转性质表明，连续时间信号的时间反转对应于它的傅立 叶系数的谐波次数k的反转。该性质的一个应用是，若x(t)为偶函数， 即x(-t)=x(t)，则其傅立叶系数也为偶，即,；若x(t)为奇函数，,证明：如果设信号x(t)的指数傅立叶级数展开式为,即x(-t)=-x(t)，则其傅立叶系数也为奇，即,（4-7-4）,4-7-4 时间反转,则其反转信号 x(-t) 的指数傅立叶级数展开式就为,作变量代换 k=-m，得到,因为求和的顺序不影响求和的结果，故有,上式即为时间反转信号x(-t)的指数傅立叶级数展开式。令m=k， 则其傅立叶系数为,4-7-5 时间尺度变换,则可知,情况1：基波周期,z(t)=x(at), a0 的傅立叶系数为,对上式作变量代换,，则有,设z(t)=x(at), a0，若假设 x(t)是基波周期为 T 的周期信号，,z(t)=x(at)是基波周期为,（或基波频率是 af ）的周期信号。,4-7-5 时间尺度变换,因为积分下限可取任意起点，故有,因此，在周期,上描述 z(t)=x(at), a0的傅立叶系数与之周期 T 上描述 x(t) 的傅立叶系数相同。 注意，在情况1下尽管 x(t) 和 z(t)=x(at) 的傅立叶系数相同，但因 为两者的基波频率不同，故它们的傅立叶级数展开式是不同的，即,（4-7-5）,4-7-5 时间尺度变换,z(t)=x(at), a0的傅立叶系数为,对上式作变量代换,，则有,情况2：基波周期T,4-7-5 时间尺度变换,即,式中,综合考虑，当a为整数时，有,如果a不为整数，则两个傅立叶系数,和,之间不存在简化,为整数。,的关系。,（4-7-7）,（4-7-6）,4-7-6 高次谐波,如果信号x(t)在基波周期T上的傅立叶系数为,，即,则x(t)在m次谐波 mT上的傅立叶系数,为,与式（4-7-6）比较，可看出上式与正整数进行时间尺度变换的,其中，新的傅立叶系数的基波周期是,结果完全相同，即,（4-7-9）,（4-7-8）,4-7-7 时域微分,如果,则,证明：令,，则有,如果,（4-7-10）,4-7-7 时域微分,则有,比较可知,时域微分性质将时域中的微分运算变换为频域中的复数乘法运算。 这个性质的意义在于，若将其应用于微分方程，则变换过程就将一个 微分方程转换成为代数方程。傅立叶（及拉普拉斯）变换方法是求解 微分方程问题的一种实用方法。,（4-7-11）,4-7-8 时域积分,如果,则当,时，,证明：令,。如果,，则有,（4-7-12）,4-7-8 时域积分,如果,则有,比较可知,如果,即使 x(t)是周期信号，z(t)一般也不是周期信号。因此 也就不能在所有时间内用傅立叶级数进行描述。时域积分性质将时域 中的积分运算变换为频域中用复数除以傅立叶系数的运算。,（4-7-13）,4-7-9 信号相乘,设x(t)和y(t)是两个周期同为 T 的周期信号，它们的傅立叶系数,则对 x(t) 和 y(t) 的乘积 z(t)=x(t)y(t)，有,式中,定义为傅立叶系数,和,的卷积和。该式,表明连续时间周期信号的乘积对应于它们的傅立叶系数的卷积求和。,（4-7-14）,4-7-9 信号相乘,证明：设 x(t) 和 y(t)是两个周期同为 T 的周期信号，则有,由于 y(t )可以写成,将其代入,中，得到,4-7-9 信号相乘,交换积分与求和的顺序，有,上式中,代入式（4-7-15），有,（4-7-16）,（4-7-15）,4-7-9 信号相乘,如果 x(t) 和 y(t)是两个不同周期的周期信号，则必须首先确定x(t),（最小值是 x(t) 和 y(t) 基本周期的最小公倍数），,上的傅立叶系数。这种情况下 的傅立叶系数可以用高次谐波性质（式（4-7-9）和式（4-7-14） 计算。 若令,，且 x(t)和 y(t)是两个周期同为T的周期信号，则有,和 y(t) 的公共周期,之后计算 x(t) 和 y(t)在该的公共周期,（4-7-17）,4-7-9 信号相乘,注意，上式中积分,类似于卷积积分，只不过积分,而不是,。这个积分运算称之为周期卷积,用周期卷积符号来表示，式（4-7-17）又可表示成,如果定义周期信号 x(t) 的第一个周期为该周期信号的主周期，,表示，即,限是,（periodic convolution），一般表示为,用,（4-7-19）,（4-7-18）,（4-7-20）,4-7-9 信号相乘,则周期信号 x(t) 可以视为是非周期（主周期）信号,的一个,根据周期卷积的定义，将上式代入式（4-7-18），有,令,，则,，有,周期延拓，即,（4-7-23）,（4-7-22）,（4-7-21）,4-7-9 信号相乘,因为 y(t)也是基本周期为 T 的周期信号，故有,由因为积分和,等价于无穷区间上的单积分,，故有,上式说明，两个基本周期均为 T 的周期信号 x(t)和 y(t) 的周期卷积 等于主周期信号（非周期信号） 和周期信号 y(t)的卷积，且基本 周期仍然为 T。,（4-7-24）,4-7-9 信号相乘,上式说明，两个基本周期均为 T 的周期信号 x(t) 和 y(t) 的周期,和周期信号 y(t)的卷积， 且基本周期仍然为 T。 根据式（4-7-19）可知，两个基本周期均为T的周期信号 x(t) 和 y(t) 的周期卷积等于它们各自的傅立叶系数 、,与基本周期 T,如果周期信号 x(t) 和 y(t) 的基本周期不相同，则需首先确定两者 的公共周期T。如果存在公共周期，就可以用式（4-7-25）计算在这 个公共周期上的傅立叶系数。,卷积等于主周期信号（非周期信号）,的乘积，即,（4-7-25）,4-7-9 信号相乘,例4-7-2 求函数,解：函数 x(t) 的基本角频率,，因此有,由式（4-7-14）可直接得到,的傅立叶系数。,4-7-10 信号共轭,如果信号,则,证明：设信号,，则,因为交换求和顺序不影响求和结果，故信号 x(t) 的共轭的傅立,叶级数展开式为,（4-7-26）,（4-7-27）,4-7-10 信号共轭,由上式显然有,如果信号 x(t) 是实信号，则 x(t) 满足以下对称性,（4-7-29）,（4-7-28）,4-7-11 帕塞瓦尔(Parseval)定理,第二章中曾给出帕塞瓦尔（Parseval）定理（式（2-5-14）。 从能量守恒的角度出发，帕塞瓦尔（Parseval）定理指出任意周期 信号 x(t) 在其基本周期上的信号能量是,式（4-7-29）的左边是信号 x(t) 的平均功率（即单位时间内的能 量），而等式右边的 是 x(t) 中第k次傅立叶系数（即第 k 次谐波） 的平均功率。故式（4-7-30）说明周期信号的平均功率等于信号全部 谐波分量（傅立叶系数）的平均功率之和。,（4-7-30）,4-7-11 帕塞瓦尔(Parseval)定理,讨论题4-7-3 已知某一信号 x(t) 满足如下条件： 1）x(t)是实信号； 2）x(t)是周期 T=4 的周期信号，其傅立叶系数是 ；,3） ；,4）傅立叶系数,的信号是奇信号；,试问通过以上信息是否能够确定信号 x(t)。,5） ；,4-7-11 帕塞瓦尔(Parseval)定理,根据条件3）可知信号x(t)至多具有3个非零的傅立叶系数,，即,。又因为 x(t)的基波频率,，所以,又由条件1知 x(t)是实信号，则由对称性式（4-7-29）可知,是,。因此有,实数，且,（4-7-31）,4-7-11 帕塞瓦尔(Parseval)定理,具有傅立叶系数,的信号（条件4），利用时间反转,对应信号 x(-t)；另外，时移性质又指出 k 阶傅立叶系数,等价于信号右移1个单位，即,。因此可知,对应于信号,，这个信号也必然是 实信号（条件1）且为奇（条件4）。考虑到奇、实函数的傅立叶系 数是虚数且为奇，于是有,以及 。,又考虑到时间反转及时移运算不可能改变每个周期内信号的平 均功率，所以条件5的存在就可保证用 x(-t+1) 代替 x(t) 后条件仍然 成立。,性质知,乘以,傅立叶系数,4-7-11 帕塞瓦尔(Parseval)定理,即,根据帕塞瓦尔（Parseval）定理（式（4-7-30），上式又等价于,的等价条件。首先因为,，则有,；其次，当 k=1 时，有,4-7-11 帕塞瓦尔(Parseval)定理,或,根据上述讨论可知，除了信号的正负号不能确定外，所给条件 能够完全确定信号的形态。,