信号与系统 教学课件 ppt 作者 王瑞兰第8章 状态方程 第八章(2) 连续系统状态方程的求解

8.3 连续系统状态方程的解,连续系统状态方程的一般形式为,式中,一、状态方程的时域解,将式 等号两端前乘以 并移项得,根据矩阵指数函数的性质，上式可写成为,等号两端取t0到t的积分，得,上式等号两端前乘以 并移项，得,式中 时的状态矢量，即初始状态矢量。,第一项只与初始状态 有关，是系统状态矢量的零输入解。,第二项只与输入矢量 有关，是系统状态矢量的零状态解。,状态转移矩阵有以下重要性质：,矩阵 称为状态转移矩阵，用 表示，得,则写为,则状态方程的解,可以用类似于矩阵乘法的运算规则定义两个函 数矩阵的卷积积分。,状态方程的解可写成简练的形式,若 表示输出矢量的零状态响应,将上式代入 中得,定义一个p×p对角方阵,于是,矩阵。,其中,结论：,试求系统的状态和输出。,例8.3-1 如某LTI系统的状态方程和输出方程分别为,其初始状态和输入分别为,A的特征多项式,解 （1）求状态转移矩阵,A的特征根为,用成分矩阵法求,由给定方程得知系统矩阵,可得矩阵指数函数为,其中,将它们代入 式，得,可用另外一种方法，求得相同结果。,（2）求状态方程的解,（3）求输出,其全解,将 和 代入到输出方程，得,例 8.3-2 给定系统的状态空间方程为,已知系统初始状态,输入为单位阶跃函数。试求该系统的状态矢量x和输出y。,解,系统状态转移矩陈为:,（1）计算状态矢量解x(t)。,零状态分量,于是状态矢量解为,(2) 计算输出响应y(t)。 零输入分量,零状态分量,所以，系统的输出响应为,解 1、求状态转移矩阵,状态矢量的零输入响应,为2x2矩阵,由已知条件可得,由上式可解得,将它们综合在一起，有,2、求系统矩阵，根据矩阵指数函数的性质。,令t=0得,所以,二、状态方程的变换解,设状态矢量 的分量 的,把它们简记作,由拉普拉斯的微分性质有,对 取拉普拉斯变换,即,上式等号两端前乘以 得,于是得状态转移矩阵,为了方便，定义,可称为预解矩阵。于是有,取上式的逆变换就得到,对输出方程取拉普拉斯变换，得,将上式代入，得,例 8.3-4 已知系统的状态空间方程为,系统输入为单位阶跃函数，初始状态x(0-)=1 2T。试求 （1）状态转移矩阵 和冲激响应矩阵h(t)； （2）系统状态矢量x(t); (3) 系统输出y(t),解 (1) 计算(t), h(t)。 先求预解矩阵。 因为,其行列式和伴随矩陈为,所以,取 的拉普拉斯反变换，得状态转移矩陈为,系统函数矩阵,取其拉普拉斯反变换,得冲激响应矩阵为,(2) 计算状态矢量x(t)。 状态矢量的零输入分量,状态矢量的零状态分量,于是系统的状态矢量为,(3) 计算输出y(t)。 输出的零输入分量,输出的零状态分量,因此,系统输出,即完全响应为,将连续时间LTI系统状态空间分析的一般步骤归纳如下： 第一步， 确定系统状态变量。一般地说，可以选取系统中表征记忆元件能量状况的物理量作为状态变量。通常，对于用信号流图(或框图)表示的模拟系统，选取一阶系统(包括积分器)输出变量为状态变量；对于LTI电系统，选取独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。 第二步， 用直接法或间接法列出系统的状态空间方程。,第三步，计算状态转移矩阵,或预解矩阵,第四步,求状态矢量x(t),其计算公式为,时域,S域,第五步，计算冲激响应矩阵,或系统函数矩阵,H(s)=C(s)B+D,第六步，计算系统输出(响应)y(t)， 具体方法有两种： 方法 1 如果状态矢量解已经求出，可将它直接代入输出方程得到y(t)。 方法 2 如果状态矢量解未知，可按下列公式计算：,时域：,S域：,例8.3-4 描述二阶连续系统的动态方程为,求描述系统输入，输出的微分方程。,三、 由状态方程判断系统的稳定性,将式（2）代入式（1）得：,H(s)的极点就是 的根，对于因果系统H(s)的所有极点位于左半s平面，则系统稳定（对于高阶系统，可以利用罗斯准则来判断。）,例 8.3-5 设某连续系统的状态空间描述方程中，其系数 矩阵,试问当K满足何条件时，系统是稳定的?,解 根据矩阵A的特征多项式,排出罗斯阵列为,若A的特征根均位于S平面的左半开平面上，则必须要求罗斯阵列的第一列数均大于零，故有,解得K3, 即当K3时，该系统是稳定的。,本节小结,1、连续系统状态方程的时域解 2、连续系统状态方程的变换域解,