【100所名校】河北省2018届高中毕业班下学期开学考试数学试题（解析版）

此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 河北省定州中学2018届高中毕业班下学期开学考试数 学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1抛物线的准线交轴于点，过点的直线交抛物线于两点， 为抛物线的焦点，若，则直线的斜率为（ ）A. 2 B. C. D. 2如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到，运动过程种，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是（ ）A. B. C. D. 3对nN*，设xn是关于x的方程nx3+2x-n=0的实数根，an=(n+1)xn，(n=2,3)（符号x表示不超过x的最大整数）.则a2+a3+a20182017=（ ）A. 1010 B. 1012 C. 2018 D. 20204定义在上的奇函数满足：当时， （其中为的导函数）.则在上零点的个数为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 15已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（ ）A. B. C. D. 6已知，下列程序框图设计的是求的值，在“*”中应填的执行语句是（ ）A. B. C. D. 7已知 ，则（ ）A. 18 B. 24 C. 36 D. 568设曲线f(x)=-ex-x（e为自然对数的底数）上任意一点的切线为l1，总存在曲线g(x)=3ax+2cosx上某点处切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为（ ）A. -1,2 B. 3,+ C. -23,13 D. -13,239设双曲线C：x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知Q(c,3a2)，F2Q>F2A，点P是双曲线C右支上的动点，且PF1+PQ >32F1F2恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. (102,+) B. (1,76) C. (76,102) D. (1,102)10已知关于x的不等式mcosx2-x2在-2,2上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A. 3,+ B. 3,+ C. 2,+ D. 2,+11已知双曲线C:x2a2-y2b2=(a>0,b>0)的右支与抛物线x2=4y交于A,B两点， F是抛物线的焦点， O是坐标原点，且AF+BF=4OF，则双曲线的离心率为（ ）A. 62 B. 32 C. 2 D. 312定义：如果函数y=fx在区间a,b上存在x1,x2a<x1<x2<b，满足f'x1=fb-fab-a，f'x2=fb-fab-a，则称函数y=fx是在区间a,b上的一个双中值函数，已知函数fx=x3-65x2是区间0,t上的双中值函数，则实数t的取值范围是（ ）A. 35,65 B. 25,65 C. 25,35 D. 1,65第II卷（非选择题）二、填空题13已知函数fx满足fx=f2x，且当x1,2时fx=lnx.若在区间1，4内，函数gx=fx-2ax有两个不同零点，则a的范围为_14如图所示，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部， ， ， ， ，当变化时，对角线的最大值为_15三棱锥的各顶点都在同一球面上，若， ， ，侧面为正三角形，且与底面垂直，则此球的表面积等于_16奇函数fx是R上单调函数，gx=fax3+f1-3x有唯一零点，则a的取值集合为_三、解答题17已知点在椭圆上， 为椭圆的右焦点， 分别为椭圆的左，右两个顶点.若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，且线段的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与相交于点，证明： 三点共线.18已知函数.(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；(2)若函数在上存在两个极值点，且，证明： .河北省定州中学2018届高中毕业班下学期开学考试数 学 答 案1D【解析】易知直线的斜率存在，且不为零.设，即，带入，得由得： ，设， ，由韦达定理得，由题知，得， ,把， 带入整理，得故选：D2C【解析】取线段中点为N，计算得： .同理，当N为线段AC或C的中点时，计算得.符合C项的图象特征.故选：C3A【解析】设t=（n+1）x，则x=tn+1，nx3+2x-n=ntn+13+2tn+1-n， 记g（t）=ntn+13+2tn+1-n，nN，当n2， g（t） 是增函数，方程g（t）=0只有一个实根tn g（n+1）=20，g（n）=n(1+n-n2)(n+1)30， ntnn+1， 即n（n+1）xnn+1，an=（n+1）xn=n， a2+a3+a20182017=12017×2+2018×20172=1010. 故选A.4D【解析】构造函数， ，由于当时， ，故当时， 为增函数.又，所以当时， 成立，由于，所以，由于为奇函数，故当时， ，即只有一个根就是.【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.5B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.6A【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.7B【解析】，故， .8D【解析】因为f'(x)=-ex-1,g'(x)=3a-2sinx，所以直线l1,l2的斜率分别为k1=-(ex1+1),k2=3a-2sinx0，则由题设可得-(ex1+1)(3a-2sinx0)=-1，即3a-2sinx0=11+ex1，又因为对任意x1，都有0<11+ex1<1，故 存在x0使得0<3a-2sinx0<1，即存在x0使得2sinx0<3a<1+2sinx0，故1-23a2，即-13a23，应选答案D 。点睛：本题将导数的几何意义与函数的切线的斜率有解地整合在一起，旨在考查导数的几何意义、全称命题与特称命题的真假判定等有关知识的综合运用。求解时先对函数进行求导，再运用导数的几何意义分别求出两条切线的斜率，再借助题设条件得到方程3a-2sinx0=11+ex1，充分借助“任意”、“存在”等量词的含义建立不等式，从而使得问题简捷、巧妙获解。9B【解析】令x=c代入双曲线的方程可得y=±bc2a2-1=±b2a，由|F2Q|>|F2A|,可得3a2>b2a，即为3a2>2b2=2(c2a2)，即有e=ca<102又PF1+PQ>32|F1F2|恒成立，由双曲线的定义,可得2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立，由F2,P,Q共线时,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=3a2，可得3c<2a+3a2，即有e=ca<76由e>1，结合可得，e的范围是(1,76).故选：B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10C【解析】因为cosx和x2都是偶函数,问题可以转化为当x0,2)时，mcosx2-x2恒成立，在同一坐标系中画出fx=mcosx及gx=2-x2的图像如图所示，易知m2，当m=2时，fx=2cosx，f'x=-2sinx，又g'x=-2x，在0,2)上，-2sinx-2x恒成立，故fxg(x)恒成立，故m2，故选C.点睛：解答本题的技巧在于借助于数形结合增强了解题的直观性，利用函数的奇偶性，将解不等式的问题转化为两函数图象在0,2)上的相对位置关系来处理，然后根据函数图象的交点情况，通过先猜后证的方式得到结果.11A【解析】把x2=4y代入双曲线x2a2-y2b2=(a>0,b>0)，可得：a2y2-4b2y+a2b2=0 ，yA+yB=4b2a2， AF+BF=4OF，yA+yB+2×22=4×22=4，yA+yB=2 4b2a2=2，2b2=a2,e=ca=a2+b2a=32a2a=62故选A.12A【解析】fx=x3-65x2,f'x=3x2-125x，函数fx=x3-65x2是区间0,t上的双中值函数，区间0,t上存在x1，x2（0x1x2t） ，满足f'(x1)f'(x2)ft-f0tt2-65t， 方程3x2-125x=t2-65t在区间0,t有两个不相等的解，令 g（x）=3x2-125x-t2+65t，（0xt），则-1252-12(-t2+65t)0g0-t2+65t0gt2t2-65t0，解得25t65， 实数t的取值范围是35,65.故答案为35,6513ln28，14e【解析】f（x）=f（2x），f（x）=f（x2）， 当x2，4）时，x21，2）；f（x）=f（x2）=lnx2=lnx-ln2， 故函数f（x）=lnx，x1，2)lnx-ln2，x2，4), 作函数f（x）与y=2ax的图象所示，过点（ln2，4）时，a=ln24， 在区间1，4） 内，函数g（x）=f（x）-2ax 有两个不同零点，则a的范围为0,ln24，故答案为0,ln24，.【点睛】本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，解题时注意数形结合的思想应用143【解析】设，则由余弦定理可得，由正弦定理可得， ， 时， 有最大值 ， 取得最大值为，故答案为.15【解析】设侧面SAB的外心为 ，底面的外心为 ，球心为 ， 的中点为 ，因为侧面为正三角形，且与底面垂直，所以 为矩形，由正三角形的性质可得 ，由余弦定理可得 ，设外接圆半径为 ，由正弦定理得 ，由勾股定理可得 ，外接球的表面积为 ，故答案为.16aa0或a>4【解析】函数gx=f