信号与系统第四版习题解答

信号与系统信号与系统（第四版）（第四版） 习题解析习题解析 高等教育出版社 2007 年 8 月 1 目目 录录 第第 1 章习题解析章习题解析.2 第第 2 章习题解析章习题解析.6 第第 3 章习题解析章习题解析.16 第第 4 章习题解析章习题解析.23 第第 5 章习题解析章习题解析.31 第第 6 章习题解析章习题解析.41 第第 7 章习题解析章习题解析.49 第第 8 章习题解析章习题解析.55 2 第第 1 1 章习题解析章习题解析 1-11-1 题 1-1 图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些 是非周期信号？哪些是有始信号？ (c) (d) 题 1-1 图 解解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、 (b)、(c)为有始（因果）信号。 1-21-2 给定题 1-2 图示信号 f( t )，试画出下列信号的波形。提示：f( 2t )表示将 f( t )波形 压缩，f()表示将 f( t )波形展宽。 2 t (a) 2 f( t 2 ) (b) f( 2t ) (c) f( ) 2 t (d) f( t +1 ) 题 1-2 图 解解 以上各函数的波形如图 p1-2 所示。 3 图 p1-2 1-31-3 如图 1-3 图示，R、L、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系 统 SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。 题 1-3 图 解解 各系统响应与输入的关系可分别表示为 )()(tiRtu RR t ti Ltu L L d )(d )( t CC i C tud)( 1 )( 1-41-4 如题 1-4 图示系统由加法器、积分器和放大量为a 的放大器三个子系统组成，系 统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。 SR SL SC 4 题 1-4 图 解解 系统为反馈联接形式。设加法器的输出为 x( t )，由于 )()()()(tyatftx 且 )()(,d)()(tytxttxty 故有 )()()(taytfty 即 )()()(tftayty 1-51-5 已知某系统的输入 f( t )与输出 y( t )的关系为 y( t ) = | f( t )|，试判定该系统是否为 线性时不变系统？ 解解 设 T 为系统的运算子，则可以表示为 )()()(tftfTty 不失一般性，设 f( t ) = f1( t ) + f2( t )，则 )()()( 111 tytftfT )()()( 222 tytftfT 故有 )()()()( 21 tytftftfT 显然 )()()()( 2121 tftftftf 即不满足可加性，故为非线性时不变系统。 1-61-6 判断下列方程所表示的系统的性质。 (1) t f t tf ty 0 d)( d )(d )( (2) )()(3)()(tftytyty 5 (3) )(3)()(2tftyty t (4) )()()( 2 tftyty 解解 (1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。 1-71-7 试证明方程 )()()(tftayty 所描述的系统为线性系统。式中 a 为常量。 证明证明 不失一般性，设输入有两个分量，且 )()()()( 2211 tytftytf， 则有 )()()( 111 tftayty )()()( 222 tftayty 相加得 )()()()()()( 212211 tftftaytytayty 即 )()()()()()( d d 212121 tftftytyatyty t 可见 )()()()( 2121 tytytftf 即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。 1-81-8 若有线性时不变系统的方程为 )()()(tftayty 若在非零 f( t )作用下其响应，试求方程 t ty e1)( )()(2)()(tftftayty 的响应。 解解 因为 f( t ) ，由线性关系，则 t ty e1)( )e1 (2)(2)(2 t tytf 由线性系统的微分特性，有 t tytf e)()( 故响应 ttt tytftf e2e)e1 (2)()()(2 6 第第 2 2 章习题解析章习题解析 2-12-1 如图 2-1 所示系统，试以 uC( t )为输出列出其微分方程。 题 2-1 图 解解 由图示，有 t u C R u i d d CC L 又 t tuu L i 0 CSL d)( 1 故 C C CS )( 1 uC R u uu L 从而得 )( 1 )( 1 )( 1 )( SCCC tu LC tu LC tu RC tu 2-22-2 设有二阶系统方程 0)(4)(4)( tytyty 在某起始状态下的 0+起始值为 2)0(, 1)0( yy 试求零输入响应。 解解 由特征方程 2 + 4 + 4 =0 得 1 = 2 = 2 则零输入响应形式为 t etAAty 2 21zi )()( 7 由于 yzi( 0+ ) = A1 = 1 2A1 + A2 = 2 所以 A2 = 4 故有 0,)41 ()( 2 zi tetty t 2-32-3 设有如下函数 f( t )，试分别画出它们的波形。 (a) f( t ) = 2( t 1 ) 2( t 2 ) (b) f( t ) = sint( t ) ( t 6 ) 解解 (a)和(b)的波形如图 p2-3 所示。 图 p2-3 2-42-4 试用阶跃函数的组合表示题 2-4 图所示信号。 题 2-4 图 8 解解 (a) f( t ) = ( t ) 2( t 1 ) + ( t 2 ) (b) f( t ) = ( t ) + ( t T ) + ( t 2T ) 2-52-5 试计算下列结果。 (1) t( t 1 ) (2) tttd) 1( (3) 0 d)() 3 cos(ttt (4) 0 0 3 d)(ett t 解解 (1) t( t 1 ) = ( t 1 ) (2) 1d) 1(d) 1( ttttt (3) 2 1 d)() 3 cos(d)() 3 cos( 00 ttttt (4) 1d)(d)(ed)(e 0 0 0 0 3 0 0 3 tttttt tt 2-62-6 设有题 2-6 图示信号 f( t )，对(a)写出 f ( t )的表达式，对(b)写出 f ( t )的表达式， 并分别画出它们的波形。 题 2-6 图 解解 (a) 20, 2 1 t f ( t ) = ( t 2 )， t = 2 2( t 4 )， t = 4 (b) f ( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) 2( t 3 ) + 2( t 4 ) 9 图 p2-6 2-72-7 如题 2-7 图一阶系统，对(a)求冲激响应 i 和 uL，对(b)求冲激响应 uC和 iC，并画出 它们的波形。 题 2-7 图 解解 由图(a)有 Ritu t i L)( d d S 即 )( 1 d d S tu L i L R t i 当 uS( t ) = ( t )，则冲激响应 )(e 1 )()(t L tith t L R 则电压冲激响应 )(e)( d d )()( L t L R t t i Ltuth t L R 对于图(b)RC 电路，有方程 R u i t u C C S C d d 10 即 SCC 11 i C u RC u 当 iS = ( t )时，则 )(e 1 )()( C t C tuth RC t 同时，电流 )(e 1 )( d d C C t RC t t u Ci RC t 2-82-8 设有一阶系统方程 )()()(3)(tftftyty 试求其冲激响应 h( t )和阶跃响应 s( t )。 解解 因方程的特征根 = 3，故有 )(e)( 3 1 ttx t 当 h( t ) = ( t )时，则冲激响应 )(e2)()()()()( 3 1 tttttxth t 阶跃响应 )()e21 ( 3 1 d)()( 3 0 thts t t 2-92-9 试求下列卷积。 (a) ( t ) * 2 (b) ( t + 3 ) * ( t 5 ) (c) tet( t ) * ( t ) 解解 (a) 由( t )的特点，故 ( t ) * 2 = 2 (b) 按定义 ( t + 3 ) * ( t 5 ) = d)5()3(t 考虑到 t 5 时，( t 5 ) = 0，故 ( t + 3 ) * ( t 5 ) =2, 2d 5 3 tt t 也可以利用迟延性质计算该卷积。因为 11 ( t ) * ( t ) = t( t ) f1( t t1 ) * f2( t t2 ) = f( t t1 t2 ) 故对本题，有 ( t + 3 ) * ( t 5 ) = ( t + 3 5 )( t + 3 5 ) = ( t 2 )( t 2 ) 两种方法结果一致。 (c) tet( t ) * ( t ) = tet( t ) = ( et tet )( t ) 2-102-10 对图示信号，求 f1( t ) * f2( t )。 题 2-10 图 解解 (a)先借用阶跃信号表示 f1( t )和 f2( t )，即 f1( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) f2( t ) = ( t ) ( t 2 ) 故 f1( t ) * f2( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) * ( t ) ( t 2 ) 因为 ( t ) * ( t ) = = t( t ) t 0 d1 故有 f1( t ) * f2( t ) = 2t( t ) 2( t 1 )( t 1 ) 2( t 2 )( t 2 ) + 2( t 3 )( t 3 ) 读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图 p2-10(a)所示。 12 (b)根据 ( t )的特点，则 f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) * ( t ) + ( t 2 ) + ( t + 2 ) = f1( t ) + f1( t 2 ) + f1( t + 2 ) 结果见图 p2-10(b)所示。 图 p2-10 2-112-11 试求下列卷积。 (a) )()()()e