自动控制原理 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 教学课件 ppt 作者 李明富 第7章 离散控制系统

,第7章,离散控制系统,计算机被引入控制系统后，控制系统中有一部分信号不再是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为离散控制系统。,7.1 离散控制系统基本概念,离散控制系统是指系统内的信号在某一点上是不连续的。仔细区分时，又可以把离散控制系统进一步分为采样控制系统和数字控制系统两大类。,7.1.1 采样控制系统,图7-1所示为多点温度采样控制系统。系统内的控制器和对象均是连续信号处理器，用采样开关来解决多个对象共享一个控制器问题。类似的系统称为采样控制系统,图7-1 多点温度采样控制系统,7.1.2 数字控制系统,图7-2所示为数字闭环控制系统。控制器只能处理数字（离散）信号，控制系统内必有A/D、D/A转换器完成连续信号与离散信号之间的相互转换。类似的系统称为数字控制系统。,图7-2 数字闭环控制系统,7.2 信号的采样与复现,7.2.1 香农采样定理,1数学描述,将连续信号f (t)加到采样开关的输入端，采样开关每T秒闭合一次，闭合的持续时间为 秒，在闭合期间，截取被采样的f (t)的幅值，作为采样开关的输出。在断开期间，采样开关的输出为零。于是在采样开关的输出端就得到宽度为的脉冲序列f *(t)，如图7-3所示。（以带“*”表示采样信号。）由于开关闭合的持续时间很短，远小于采样周期T，即 T，可以认为f (t)在时间内变化甚微，所以f *(t)可以近似表示高为f (kT)、宽为 的矩形脉冲序列。即,（7-1）,图7-3 采样过程,由于在控制系统中，当t0时，f (t)=0，所以序列k取0+。式中1(tkT)1(tkT)为两个阶跃函数之差，表示一个在kT时刻，高为1、宽为、面积为 的矩形，如图7-4所示。由于 很小，比采样开关以后系统各部分的时间常数小很多，即可认为0，则此矩形可近似用发生在kT时刻的 函数表示,1(tkT)1(tkT) = · (tkT),式中 (tkT)为t = kT处的 函数。于是式（7-1）可表示为,（7-2）,（7-3）,由于 为常数，为了方便，把 归到采样开关以后的系统中去，则采样信号可描述为,（7-4）,由于t = kT处的f (t)值就是f (kT)，所以式（7-4）可写作,（7-5）,式中,称为单位理想脉冲序列，若用 T (t)表示，则式（7-5）可写作,f *(t) = f (t)T (t),（7-6）,式（7-6）就是信号采样过程的数学描述,图7-4 kT时刻的矩形波,从物理意义上看，式（7-6）所描述的采样过程可以理解为脉冲调制过程。采样开关即采样器是一个幅值调制器，输入的连续信号f (t)为幅值调制信号，而单位理想脉冲序列 T(t)则为载波信号，采样器的输出则为一串调幅脉冲序列f *(t)，如图7-5所示。,图7-5 采样器相当于幅值调制器,2采样定理,首先将式（7-5）中的 T (t)展开成傅氏级数，即,式中， s采样角频率； Fs采样频率； T采样周期； ck傅氏级数的系数，由下式决定,（7-8）,（7-7）,由于 在 到 区间仅在 时取值为1，所以,（7-9）,因为当t0时，f (t) = 0，所以由式（7-4）、式（7-7）和式（7-9）可得,（7-10）,这是采样信号f *(t)的傅氏级数表达式。对此式进行拉氏变换，可得采样信号的拉氏变换式,（7-11）,于是，得到采样信号的频率特性为,（7-12）,式中，F(j)原输入信号f (t)的频率特性； F*(j)采样信号f*(t)的频率特性。,假定|F(j)|为一孤立的频谱，它的最高角频率为max，如图7-7（a）所示,采样信号f*(t)的频谱|F*(j)|为无限多个原信号f(t)的频谱|F(j)|之和，且每两条频谱曲线的距离为s，如图7-7（b）所示。,如果s/2max，就会使|F*(j)|中各个波形互相搭接如图7-7（c）所示，就无法通过滤波器滤除F*(j)中的高频部分并复现为F(j)，也就不能从f*(t)恢复为f (t)。,图7-7 原连续信号与采样信号的频谱,采样定理可叙述如下：如果采样周期满足下列条件，即,s = 2/T2max （7-14） 或 T/max,需要指出的是，采样定理只是在理论上给出了信号准确复现的条件，但还有两个实际问题需要解决。,其一，实际的非周期连续信号的频谱中最高频率是无限的，如图7-8（a）所示。因此就不可能选择一个有限采样频率，使信号采样后频谱波形不重复搭接。即不论采样频率选择多高，采样后信号频谱波形总是重复搭接的，如图7-8（b）所示。,其二，需要一个幅频特性为矩形的理想低通滤波器，才能把原信号不失真地复现出来，而这样的滤波器实际上是不存在的。因此复现的信号与原信号是有差别的。,图7-8 非周期连续信号采样前后的频谱,【例7-1】设连续信号f (t)=e2t，试选择采样频率，使信息损失不超过5%。,解：取f (t)=e2t的拉氏变换得,则其幅频特性为,其零频振幅为,若b=0.05，则max可由下式确定,=0.05|F(0)|=0.05×0.5=0.025,所以max 40，根据采样定理应取s80。,7.2.2 零阶保持器的原理,为了从采样信号复现出原连续信号，而又不使上述高频分量进入系统，应在采样开关后面串联一个信号复现滤波器，它的功能是滤去高频分量，而无损失地保留原信号频谱。能使采样信号不失真地复现为原连续信号的低通滤波器应具有理想的矩形频率特性，即,（7-15）,其图形如图7-9所示。且式中s满足采样定理，即s2max，max为原连续信号频谱的最高频率。经过这样的滤波器滤波之后，信号的频谱变为,（7-16）,上式意味着，经过理想滤波以后，脉冲序列的频谱与原连续信号的频谱一样，只是幅值为原来的1/T。,实际上，具有图7-9所示理想频率特性的滤波器是不存在的，工程上只能采用具有低通滤波功能的保持器来代替。,图7-9 理想滤波器的频率特性,保持器是将采样信号转换成连续信号的装置，其转换过程恰好是采样过程的逆过程。,f (kT + t) = f (kT) 0tT （7-19）,上式表明，零阶保持器的作用是把kT时刻的采样值保持到下一个采样时刻(k+1)T到来之前，或者说按常值外推，如图7-10所示。,图7-10 零阶保持器的作用,据此可绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线，如图7-11所示。,图7-11 零阶保持器的频率特性,由图可见，其幅值随频率增高而减小，所以零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想低通滤波器。,7.3 离散控制系统的数学模型,离散控制系统的数学模型，它包含以下3个基本内容。,（1）差分方程。 （2）z变换。 （3）脉冲传递函数。,7.3.1 差分方程,1差分的概念,差分与连续函数的微分相对应。不同的是差分有前向差分和后向差分之别。如图7-12所示，连续函数f (t)经采样后为f*(t)，在kT时刻，其采样值为f (kT)，为简便计，常写作f (k)。,图7-12 前向差分与后向差分,一阶前向差分的定义为,f (k) = f (k + 1) f (k) （7-23）,二阶前向差分的定义为,（7-24）,n阶前向差分的定义为,nf (k) = n1 f (k +1) n1 f (k),（7-25）,同理，一阶后向差分的定义为,f (k) = f (k) f (k1) （7-26）,二阶后向差分的定义为,（7-27）,n阶后向差分的定义为,n f (k) = n1 f (k) n1 f (k1) （7-28）,2差分方程,若方程的变量除了含有f (k)本身外，还有f (k)的各阶差分f (k)，2f (k)，nf (k)，则此方程称为差分方程。,7.3.2 z变换与反z变换,1定义,z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采样拉氏变换。在采样系统中，连续函数信号f (t)经过采样开关，变成采样信号f*(t)，由式（7-4）给出,对上式进行拉氏变换,F*(s) = £,（7-30）,由上式可以看出，任何采样信号的拉氏变换中，都含有超越函数e ，因此，若仍用拉氏变换处理采样系统的问题，就会给运算带来很多困难。为此，引入新变量z，令,z = e,（7-31）,则,将F*(s)记作F(z)，则式（7-30）可以改写为,（7-32）,这样就变成了以复变量z为自变量的函数，称此函数为f*(t)的z变换。记作,F (z) = Zf*(t),因为z变换只对采样点上信号起作用，所以上式也可以写为,F(z) = Zf (t),应注意，F(z)是f (t)的z变换符号，其定义就是式（7-32），不要误以为它是f (t)的拉氏变换式F(s)中的s以z简单置换的结果。将式（7-32）展开，有,F (z) = f (0)z + f (T)z + f (2T)z +f (kT)z +,（7-33）,可见，采样函数的z变换是变量z的幂级数。,正因为z变换只对采样点上信号起作用，因此，如果两个不同的时间函数f1(t)和f2(t)，它们的采样值完全重复（见图7-13），则其z变换是一样的。即f1(t)f2(t)，但由于f1*(t)=f2*(t)，则F1(z)=F2(z)，就是说采样函数f*(t)与其z变换函数是一一对应的。但采样函数所对应的连续函数不是唯一的。,图7-13 正反z变换的非一一对应,2z变换的性质,z变换与拉氏变换的性质相类似，z变换有线性，位移（时位移、复位移），初、终值定理等，如表7-1所示。,表7-1 z变换线性，位移，初、终值定理表,3z变换的求法,（1）用定义求。,已知时函数f (t)，则,，展开后，根据无穷级数求和公式,a + aq + aq2 +=,(|q|1),即可求出函数的z变换。,【例7-2】考虑下列序列,u(kT) = e,(k = 0,1,2),其中a为常数，求u*(t)的z变换,解：,则,将上式两边同时乘以e ，得到的结果再与上式两边对应相减，若满足|e(s+a)T1|，则可以得到,其中，是s的实部，由此可以得到u*(t)的z变换为,(|eaT z1|1,4z反变换,z反变换可以记作,z1F(z) = f * (t),（7-34）,求z反变换的方法通常有3种：部分分式展开法、级数展开法（综合除法）积留数法。,在求z反变换时，仍假定当k0时，f (kT)=0。,（1）部分分式展开法。此法是将F(z)通过部分分式分解为低阶的分式之和，直接从z变换表中求出各项对应的z反变换，然后相加得到f (kT)。,【例7-4】已知,，求f (kT)。,解：由于F(z)中通常含有一个z因子，所以首先将式F(z)/z展成部分分式较容易些。,再求F(z)的分解因式,查z变换表，得到,所以,f (kT) = 1+2k,即,f (0) = 0，f (T) = 1，f (2T) = 3，f (3T) = 7，f (4T) = 15，f (5T) = 31,（2）级数展开法。级数展开法又称综合除法，即把式F(z)展开成按z1升幂排列的幂级数。因为F(z)的形式通常是两个z的多项式之比，即,所以很容易用综合除法展成幂级数。对上式用分母去除以分子，所得之商按z1的升幂排列,F (z) =,c0 + c1 z1 +c2 z2 +ck zk+=,（7-35）,这正是z变换的定义式。zk项的系数ck就是时间函数f (t)在采样时刻t = kT的值。,【例7-5】试用幂级数展开法求,的z反变换。,解