高中数学选修2-2 第二章 推理与证明

今天比昨天好 这就是希望 高中数学小柯工作室 第二章 推理与证明测试十一 合情推理与演绎推理 学习目标1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理2掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 基础训练题一、选择题1数列2，5，10，17，x，37，中的x等于()(A)25(B)26(C)27(D)282已知扇形的弧长为l，半径为r类比三角形的面积公式：S底×高，可推知扇形的面积公式S扇形等于()(A)(B)(C)(D)lr3在公差为d的等差数列an中，我们可以得到anam(nm)d(m，nN*)通过类比推理，在公比为q的等比数列bn中，我们可得()(A)bnbmqnm(B)bnbmqmn(C)bnbm·qmn(D)bnbm·qnm4将正奇数数列1，3，5，7，9，进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3，5；第三组含三个数7，9，11；第四组含四个数13，15，17，19；记第n组内各数之和为Sn，则Sn与n的关系为()(A)Snn2(B)Snn3(C)Sn2n1(D)Sn3n15数列an中，a13，a26，且an2an1an，则a33等于()(A)3(B)3(C)6(D)6二、填空题6已知平面(2维)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么a·bx1x2y1 y2；空间(3维)向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么a·bx1x2y1y2z1z2由此推广到n维向量：a(a1，a2，an)，b(b1，b2，bn)，那么a·b_7在数列an中，a11，an1，则此数列的通项公式可归纳为_.8半径为r的圆的面积S(r)p r2，周长C(r)2p r，若将r看作(0，)上的变量，则(p r2)'2p r，式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请写出类比的等式：_；上式用语言可以叙述为_9将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式为_10在平面几何中，我们有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值拓展到空间，类比平面几何的上述结论，我们可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_三、解答题11类比实数的加法和向量的加法，从相加的结果是否为实数(向量)，以及运算律、逆运算、0与0(零向量)几个方面考虑，列出它们相似的运算性质12下列推理的两个步骤分别遵循那种推理原则？因为直线a平面，直线b平面，所以ab又因为bc，所以ac13设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项的和证明：Sn·Sn2 拓展训练题14在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n成立，其中1n19，nN*类比上述性质，相应的：在等比数列bn中，若b91，试写出相应的一个等式测试十二 直接证明与间接证明 学习目标1了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，能利用它们解决简单问题2了解间接证明的一种基本方法反证法，能利用反证法解决简单问题 基础训练题一、用分析法或综合法证明下列问题1证明：2已知ab0，求证：3设a，b(0，)，且ab，证明：a3b3a2bab24已知锐角A，B满足，证明：sinAcosB5已知数列an是等差数列，证明：数列bn是等差数列6在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列求证：ABC为等边三角形二、用反证法证明下列问题7设a，b是平面内的两条直线，证明：这两条直线最多只有一个交点8证明：若函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多只有一个实数根9设p，qR，且p3q32，求证：pq210求证：一元二次方程ax2bxc0(a0)至多有两个不相等的实数根 拓展训练题11求证：1，不能成为同一等差数列中的三项12证明：对于函数f(x)lgx，找不到这样的正数M，使得对于f(x)定义域内任意的x有|f(x)|M成立测试十三 数学归纳法 学习目标了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 基础训练题1证明：，其中nN*2证明：(1x)(1xx2xn1)1xn，其中nN*3数列an满足a11，anan13n1(n2，3，4，)(1)求a2，a3；(2)证明：an4求证：12223242(1)n1·n2(1)n1·，其中nN*5已知数列，其前n项和为Sn经计算得，观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并加以证明6求证：，其中nN*7求证：，其中nN*且n28求证：2n1n2n1，其中nN*9观察下列式子：请归纳出关于n的一个不等式并加以证明10平面上有n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点证明：这n条直线将平面分成(n2n2)部分 拓展训练题11是否存在常数a，b，使得等式对一切nN*都成立？证明你的结论12设nN*，f(n)5n2×3n11(1)当n1，2，3，4时，计算f(n)的值；(2)你对f(n)的值有何猜想？证明你的猜想测试十四 推理与证明全章综合测试题一、选择题1观察数列an：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点，则a100是()(A)14(B)13(C)12(D)112不等式ab与同时成立的充要条件是()(A)ab0(B)0ab(C)a0b(D)03已知an为等比数列，a52，那么有等式a1·a2·a929成立类比上述性质，相应的：若bn为等差数列，b52，则有()(A)b1b2b929(B)b1·b2·b929(C)b1b2b92×9(D)b1·b2·b92×94设函数f(x)|lgx|，若0ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是()(A)(0，2)(B)(1，)(C)(2，)(D)(0，1)5设a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是()(A)(B)a3b32ab2(C)a2b222a2b(D)6用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，与命题结论相矛盾的假设为()(A)假设三角形的三个内角都大于60°(B)假设三角形的三个内角都不大于60°(C)假设三角形的三个内角中至多有一个大于60°(D)假设三角形的三个内角中至多有两个大于60°二、填空题7在ABC中，D为BC的中点，则有，将此结论类比到四面体中，可得一个类比结论为：_8已知数列an的通项公式为，记f(n)(1a1)(1a2)(1an)，其中nN*，那么f(1)_；f(2)_；f(3)_；推测f(n)_9若三角形的内切圆半径是r，三边长分别是a，b，c，则三角形的面积是为(abc)类比此结论，若四面体的内切球半径是R，四个面的面积分别是S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V_10已知数列an的前n项和为Sn，a1，通过计算S1，S2，S3，S4，可归纳出Sn_三、解答题11已知a，b，c是正数，且abbcca1，永证：abc12设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和证明：数列Sn不是等比数列13设a0，函数是R上的偶函数(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，)上单调递增14对于任意正整数n，判断2n与n2的大小，并加以证明参考答案第二章 推理与证明测试十一 合情推理与演绎推理一、选择题1B 2C 3D 4B 5A提示：5按递推关系依次写出前几项为3，6，3，3，6，3，3，6，观察可知从第七个数开始重复出现，故此数列是周期数列，周期为6，从而a33a5×63a33二、填空题6a1b1a2b2anbn78(pR3)'4pR2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数9平行四边形对角线互相平分(大前提)，菱形是平行四边形(小前提)，菱形对角线互相平分(结论)10到四个面的距离之和为定值三、解答题11(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后，结果仍是一个向量(2)从运算律的角度考虑，他们都满足交换律和结合律，即abba；abba(ab)ca(bc)；(ab)ca(bc)(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算ax0与ax0都有唯一解xa，xa(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a0a在向量加法中，任意向量与零向量相加，即不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a0a12第一步推理是省略大前提的三段论推理；第二步推理是传递性关系推理13证明：设等比数列an的公比为q，依题意a10，q0当q1时，Snna1，从而Sn·Sn2na1·(n2)a1(n1)20；当q1时，从而Sn·Sn2综上，得Sn·Sn214解：等比数列bn中，若b101，类比等差数列，可得b1·b2··bnb1·b2··b19n.而现在b91，说明b8b101，b7b111，从而有b1·b2·b7b1·b2··b7b8b9b10b1·b2··b6b1·b2··b6b7b8b9b10b11归纳，可得b1·b2··bnb1·b2··b17n，其中1n19，nN*测试十二 直接证明与间接证明一、用分析法或综合法证明下列问题1