交通工程基础第8讲习题5统计数学应用1
第8讲 交通工程中的 统计学应用(1),Chapter 7 Statistical Applications in Traffic Engineering,7.1 概率论与数理统计概述 7.2 正态分布与应用 7.3 置信区间 7.4 样本数量计算 7.5 随机变量求和 7.6 二项分布与正态分布 7.7 泊松分布 7.8 假设检验,Chapter 7 Statistical Applications in Traffic Engineering,7.1 概率论与数理统计概述,7.1.1 离散函数和连续函数 离散函数：变量是离散变量的函数 伯努利分布，二项分布，泊松分布 离散变量：其数值只能用自然数或整数单位计算的变量 人数，交通量，交通密度 连续函数：变量是连续变量的函数 正态分布，指数分布，2分布 连续变量：在一定区间内可以任意取值的变量 身高，速度，车头时距，车头间距,7.1.2 随机性和随机性分布 随机性：具有某一概率的事件集合中的各个事件所表现出来的不确定性 确定性 （P170/147：If you add mass to a spring or a force to a beam, you can expect it to deflect a predictable amount）,解决随机性问题的基本思想： make things as simple as possible, but no simpler 实例：Consider the question of who turns north and who turns south after crossing a bridge. Most of the time, we simply say there is a probability p that a vehicle will turn north, and we treat the outcome as a random event(P170/147),7.1.3 数据组织 分组 频率直方图 频率分布图 累积频率分布图,7.1.4 常用估计值 表示集中程度的估计值 算术平均值 中值 众数 表示分散程度的估计值 方差 标准差 协方差,算术平均值 未分组数据： 分组数据：,计算算术平均值的实例1： Consider the sample speeds in mdh: (53, 41, 63, following example: Estimate the mean from the following 52, 41, 39, 55, 34) （P171/148）,计算算术平均值的实例2： For the height data above of Table 7.2:(P172/149),计算算术平均值的实例3： 在某条公路上, 上午高峰期间, 以15s为间隔观测到达的车辆数, 结果如表所示，试求样本均值.,中值 在一组数据中排列居中的数 For nongrouped data, it is the middle value; for example, for the set of numbers (3,4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8), the median is 6. It is the fifth value (in ascending or descending order) in an array of 9 numbers. For grouped data, the easiest way to get the median is to read the 50% percentile point off a cumulative frequency distribution curve,众数 一组数据中出现次数最多的数值 For example, in nongrouped data, for the set of numbers (3,4,5,5,6,7,7,7,8), the mode is 7. For the set of numbers (3, 3, 4, 5, 5,5, 6,7, 8, 8, 8,9), both 5 and 8 are modes, and the data is said to be bimodal. For grouped data, the mode is estimated as the peak of the frequency distribution curve,方差,N-1,标准差,7.1 概率论与数理统计概述 7.2 正态分布与应用 7.3 置信区间 7.4 样本数量计算 7.5 随机变量求和 7.6 二项分布与正态分布 7.7 泊松分布 7.8 假设检验,Chapter 7 Statistical Applications in Traffic Engineering,7.2 正态分布与应用,正态分布的记法：,7.2.1 标准正态分布 N（0，1） 概率密度值可查表7.3（P174/151）,任意正态分布与标准正态分布的转换： 例子：Consider the following example: For the spot speed distribution of Figure 7.2, x: N55,49, what is the probability that the next observed speed will be 65 mph or less? (P175/152),7.2.2 正态分布的常用值,7.1 概率论与数理统计概述 7.2 正态分布与应用 7.3 置信区间 7.4 样本数量计算 7.5 随机变量求和 7.6 二项分布与正态分布 7.7 泊松分布 7.8 假设检验,Chapter 7 Statistical Applications in Traffic Engineering,7.3 置信区间,置信度（置信水平）：用来自母体的一组子样（即观测值）对表征母体的参数进行估计时的可信程度。 置信区间：在某一置信度下，样本统计值与总体参数值间误差范围。,举例说明： 一次速度调查可得出一个速度均值。这个均值是由有限个样本得出来的，用来估计没有拥堵时所有通过这一地点的车辆的速度的总体均值； 总体的车辆数为无限大； 用样本均值估计总体均值，就需要知道这个估计值有多大的可信度,样本均值服从正态分布： 某组观测值有N个样本，服从正态分布，均值是 ，标准差为： 进行多组观测，可得出多个均值，多个标准差 观测值的均值也服从正态分布：,原理（P257/230）： 为何均值不变：假定100个观测值的平均值是50，分为10组，每组10个数据，分别计算均值。这10个均值的均值还是50。 为何标准差小了N倍：由于分组与平均过程实质上减少了极端值的出现概率。例如，一个平均速度是50的地点，可以出现70或更大的观测值。但在同一个地点，不太可能出现10个车速的平均值是70的情况。,置信区间的求法： 正态分布有95%的值落在均值的1.96个标准差之内，99.7%的值落在均值的3.00个标准差之内。这样，样本均值在真值的1.96个标准差之内的置信度是95%：,的几个置信区间： 其中E，或1.96E，或3.00E叫做公差，用e表示,求观测值置信区间的实例： Consider the following: 54 speeds are observed, and the mean is computed as 47.8 mph, with a standard deviation of 7.80 mph. What are the 95% confidence bounds?（P176/153）,7.1 概率论与数理统计概述 7.2 正态分布与应用 7.3 置信区间 7.4 样本数量计算 7.5 随机变量求和 7.6 二项分布 7.7 泊松分布 7.8 假设检验,Chapter 7 Statistical Applications in Traffic Engineering,7.4 样本数量计算,置信度为95%时，需要的样本数量为：,计算样本数量的实例： Consider another example: With 99.7% and 95% confidence, estimate the true mean of the speed on a highway, plus or minus 1 mph. We know from previous work that the standard deviation is 7.2 mph. How many samples do .we need to collect?（P177/154）,确定地点速度调查的样本数量实例： Consider further that a spot speed study is needed at a location with unknown speed characteristics. A tolerance of 50.2 mph and a confidence of 95% is desired. What sample size is required?（P177/154）,确定行程时间调查样本数量的实例： Another example: An arterial is to be studied, and it is desired to estimate the mean travel time to a tolerance of f 5 seconds with 95% confidence(P177/154),作业,打印第7章 复习7.1,7.2,7.3,7.4,3,中文教材附录,
