高中数学教师讲义;第三章 三角函数

第三章三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础盘查一角的有关概念(一)循纲忆知了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角)(二)小题查验1判断正误(1)三角形的内角必是第一、二象限角()(2)第一象限角必是锐角()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)若k·720°(kZ)，则和终边相同()答案：(1)×(2)×(3)×(4)2(人教A版教材习题改编)3 900°是第_象限角，1 000°是第_象限角答案：四一3若k·180°45°(kZ)，则在第_象限答案：一、三基础盘查二弧度的定义和公式(一)循纲忆知了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化(二)小题查验1判断正误(1)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为2k(kZ)()(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位()答案：(1)×(2)2(人教A版教材练习改编)已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_答案：1.2基础盘查三任意角的三角函数(一)循纲忆知理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(二)小题查验1判断正误(1)三角函数线的长度等于三角函数值()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负()(3)点P(tan ，cos )在第三象限，则角终边在第二象限()(4)为第一象限角，则sin cos 1()答案：(1)×(2)(3)(4)2(人教A版教材练习改编)已知角的终边经过点P(12,5)，则cos _，sin _，tan _.答案：3若角终边上有一点P(x,5)，且cos (x0)，则 sin _.答案：|(基础送分型考点自主练透)必备知识角的概念(1)分类(2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k·360°，kZ题组练透1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400°是第四象限角；315°是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个 D4个解析：选C是第三象限角，故错误；，从而是第三象限角，故正确；400°360°40°，从而正确；315°360°45°，从而正确2设集合M，N，那么()AMN BMNCNM DMN解析：选B法一：由于M，45°，45°，135°，225°，N，45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，显然有MN，故选B.法二：由于M中，x·180°45°k·90°45°45°·(2k1)，2k1是奇数；而N中，x·180°45°k·45°45°(k1)·45°，k1是整数，因此必有MN.3在720°0°范围内所有与45°终边相同的角为_解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：45°k×360°(kZ)，则令720°45°k×360°<0°，得765°k×360°<45°，解得k<，从而k2或k1，代入得675°或315°.答案：675°或315°类题通法(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角的象限|(题点多变型考点全面发掘)必备知识任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线提醒三角函数线是有向线段一题多变典型母题设角终边上一点P(4a,3a)(a0)，求 sin 的值解设P与原点的距离为r，P(4a,3a)，a0，r|5a|5a.sin .题点发散1若本例中“a0”，改为“a0”，求 sin 的值解：当a0时，sin ；当a0时， r5a, sin .题点发散2若本例中条件变为：已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ， cos ， tan 的值解：设终边上任一点为P(4a,3a)，当a0时，r5a，sin ，cos ，tan ；当a0时，r5a，sin ，cos ，tan .题点发散3若本例中条件变为：已知角的终边上一点P(，m)(m0), 且sin ，求cos ， tan 的值解：由题设知x，ym，r2|OP|22m2(O为原点)，r.sin ，r2，即3m28，解得m±.当m时，r2，x，y，cos ， tan ；当m时，r2，x，y，cos ， tan .类题通法用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解|(题点多变型考点全面发掘)必备知识弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：弧度与角度的换算：360°2弧度；180°弧度；弧长公式：l|r；扇形面积公式：S扇形lr和|r2.一题多变典型母题已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角解设圆心角是，半径是r，则(舍)，故扇形圆心角为.题点发散1去掉本例条件“面积是4”，问当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解：设圆心角是，半径是r，则2rr10.S·r2r(102r)r(5r)2，当且仅当r时，Smax，2.所以当r，2时，扇形面积最大题点发散2若本例中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，正方形边长为r，圆心角的弧度数是.答案：题点发散3若本例条件变为：扇形的圆心角是120°，弦长AB12 cm，求弧长l.解：设扇形的半径为r cm，如图由sin 60°，得r4 cm，l|·r×4 cm.类题通法应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形一、选择题1将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.B. C D解析：选C将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.即为×2.2已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin >0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3) C2,3) D2,3解析：选Acos 0，sin >0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2<a3.故选A.3已知是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos x，则x()A. B± C D解析：选D依题意得cos x0，由此解得x，选D.4点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A. B. C. D.解析：选A由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos，ysin.5已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()A B C. D.选B取终边上一点(a,2a)(a0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos ±，故 cos 22cos21.6已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1 B1 C3 D3解析：选B由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0.所以y1111.二、填空题7在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_解析：2 010°12，与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为. 答案：8在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为_解析：依题意知OAOB2，AOx30°，BOx120°，设点B坐标为(x，y)，所以x2cos 120°1，y2sin 120°，即B(1，)答案：(1，)9已知角的终边上有一点(a，a)，aR且a0，则sin 的值是_解析：由已知得r|a|，则sin 所以sin 的值是或.答案：或10设角是第三象限角，且sin，则角是第_象限角解析：由是第三象限角，知2k<<2k(kZ)，k<<k(kZ)，知是第二或第四象限角，再由sin知sin<0，所以只能是第四象限角答案：四三、解答题11已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)法一：2rl8 S扇lrl·2r 2×24，