线性代数 教学课件 ppt 作者 薛有才第5章 第12讲：矩阵对角化

§3 相似矩阵,一、相似矩阵与相似变换的概念,定义: 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆方阵 P , 使,则称 B 是 A的相似矩阵, 也称 矩阵 A与 B相似;,可逆矩阵P 称为把 A变成 B的相似变换矩阵.,二、相似矩阵的性质,矩阵间的相似关系具有,(1) 反身性: A 与 A 本身相似;,(2) 对称性: 若 A 与 B 相似, 则 B 与 A 也相似;,(3) 传递性: 若 A 与 B 相似, B 与 C 相似, 则 A 与 C 相似;,因此相似关系是一种等价关系.,定理: 若 A 与 B 相似, 则,(3) 相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的 特征值.,特别地, 若 A 与对角矩阵,相似,例: 设 与 相似, 求 a, b.,解:,由于相似矩阵有相同的特征多项式, 所以,取,三、利用相似变换将方阵对角化,因而若 P 是由 A 的 n 个特征向量所构成, 则总有,即要求 A 有n 个线性无关的特征向量.,定理:,n 阶方阵A与对角阵相似 (即A 能对角化) 的 充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.,推论: 如果 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值, 则 A 必能对角化.,当 A 的特征方程有重根时, 就不一定有 n 个 线性无关的特征向量, 从而不一定能对角化.,解:,§4 实对称矩阵的对角化,一、实对称矩阵的性质,(1) 实对称矩阵的特征值都是实数.,(2) 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量 相互正交.,(3),定理:,实对称矩阵A 必能对角化, 且存在正交阵P,二、利用正交阵将实对称矩阵对角化的步骤,例: 设,解:,A 特征多项式,续解:,例: 设,解:,A 特征多项式,续解:,续解:,续解:,续解:,思考题2：,思考题1: n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（ ）. (A) 充分且必要条件; (B) 充分而非必要条件; (C) 必要而非充分条件; (D) 既非充分也非必要条件,思考题3: n阶方阵A 能与对角矩阵相似的充分必要 条件是（ ） (A) A是实对称矩阵; (B) A的n个特征值互不相等; (C) A具有n个线性无关的特征向量; (D) A的特征向量两两正交,思考拓展1: 设 求 a 使 A 能对角化.,解:,A 特征多项式,续解:,续解:,思考拓展2: 求一个三阶实对称矩阵 A, 它的特征值 为 6, 3, 3, 且特征值6对应的一个特征向量为,设特征值3对应的特征向量为,x = (x1 , x2 , x3)T ,由于实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量,解:,正交,求得这个方程组的基础解系为,取 p2 , p3 为特征值3对应的两个线性无关的特征向量；,令,则,因而,