线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第4章 向量组的线性相关性 4.4 线性方程组的解的结构
4.4 线性方程组的解的结构,首页 上页 下页 返回 结束,在第3章我们已经介绍了,利用矩阵的初等行变换和,矩阵的秩,求解线性方程组,这一节我们在此基础上，,利用向量组的线性相关性理论，,进一步讨论线性方程,组的解的结构,先讨论齐次线性方程组,首页 上页 下页 返回 结束,设齐次线性方程组,令,(4-4),则方程组（4-4）可表示成向量方程,（4-5）,若,是方程组（4-4）,的解，,则它们构成的向量,称为方程组（4-4）的解向量，,它也称为（4-5）的解,首页 上页 下页 返回 结束,下面，我们利用向量方程（4-5）,讨论线性方程组,（4-4）的解向量的性质：,性质1,若,是（4-5）的解，,则,也是（4-5）的解,证,只需验证,满足方程（4-5）：,首页 上页 下页 返回 结束,性质2,若,是（4-5）的解，,为实数，,则,也是（4-5）的解,证,设方程（4-5）的全体解组成的集合为,如果能,求得解集,的一个最大无关组,（4-5）的任一解都可由这个最大无关组,则方程,线性表示；,反之，,由性质1，2可知，,这个最大无关组,性组合,的任何线,首页 上页 下页 返回 结束,都是方程（4-5）的解，,因此（*）式表示方程（4-5）,的通解,（*）,齐次线性方程组的解集,的最大无关组,称为该齐次线性方程组的基础解系,由上述讨,论可知，,要求齐次线性方程组的通解，,可先求出它的,基础解系,首页 上页 下页 返回 结束,在第3章我们利用矩阵的初等行变换求齐次线性方,程组的通解，,下面用同样的方法求齐次线性方程组的,基础解系,设方程组（4-4）的系数矩阵,的秩为,且不,妨设,的前,个列向量线性无关，,则,的行最简形,矩阵为,首页 上页 下页 返回 结束,对应于,得方程组（4-4）的同解方程组,（4-6）,首页 上页 下页 返回 结束,令自由未知数,依次等于,程组（4-4）的通解,得方,首页 上页 下页 返回 结束,上式可记作,可见，,方程组（4-4）的解集,中的任一解向量,可由,都,线性表示，,且,又因为矩阵,中有一个,阶子式,所以,故,线性无关,由最大无关组的等价定义，,知,是解集,的一个最大无关组，,即,首页 上页 下页 返回 结束,是方程组（4-4）的基础解系,在上面的解法中，,我们是先求出方程组（4-4）的,通解，,再从通解中求出它的基础解系,事实上，,我们也可以先求出方程组（4-4）的基础,解系，,再写出它的通解,由方程组（4-4）的同解方程组,（4-6）,首页 上页 下页 返回 结束,由方程组（4-6），,非自由未知数,依次可得下,列,组数,令自由未知数,依次取下列,组数,首页 上页 下页 返回 结束,两者合起来，,便得方程组（4-4）的基础解系,首页 上页 下页 返回 结束,由所求的基础解系，,定理4.7,设,元齐次线性方程组,若系数,矩阵,的秩,则该方程组的解集,的秩,当,时，,方程组（4-4）只有零解，,即解集,只含一个零向量，,没有基础解系；,当,时，,由定理4.7可知，,方程组（4-4）的基础解系含,个解向量,又由最大无关组的性质可知，,方程组（4-4）,便可得,首页 上页 下页 返回 结束,的任何,个线性无关的解向量都可作为它的基础,解系,因此，齐次线性方程组的基础解系并不唯一，,它的通解的形式也不唯一,例4.12,求齐次线性方程组,的基础解系与通解,首页 上页 下页 返回 结束,解,对系数矩阵,作初等行变换，,将它变为行最,简形矩阵：,首页 上页 下页 返回 结束,得同解方程组,（*）,首页 上页 下页 返回 结束,（*）,令,对应有,从而得方程组的基础解系,首页 上页 下页 返回 结束,通解为,即,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,若取,对应有,则可得不同的基础解系：,由同解方程组,首页 上页 下页 返回 结束,从而得不同形式的通解,显然，,两个不同的基础解系,与,是等价,的，,分别得到的通解虽然形式不同，,但都可表示方,程组的任一解,首页 上页 下页 返回 结束,在上述解法中，,总要先把系数矩阵化为行最简形,矩阵，,所以,总是作为非自由未知数，,程会出现一些分数的运算，,有时化简过,求解过程并不简单,事实上，,对于解方程组来说，,也可以作为自由,未知数，,这时，对系数矩阵,作初等行变换，,可先,把,的某一列（不一定是第一列）化为,如本题的系数矩阵,的第4列,首页 上页 下页 返回 结束,数值较简单，,可先把它化为,再把后一个矩阵的第3列化为,首页 上页 下页 返回 结束,矩阵,虽然不是,的行最简形矩阵，,形矩阵同样的效果,但它具有行最简,由这个矩阵可选取,未知数，,为自由,得同解方程组,令,得方程组的通解为,首页 上页 下页 返回 结束,其中对应的基础解系为,首页 上页 下页 返回 结束,定理4.7是求解线性方程组的理论基础，,它在讨论矩阵的秩上的应用,下面介绍,在3.2中，我们给出了矩阵的性质（8）：,若,则,下面利用定理4.7给予证明.,证,令,则,即,首页 上页 下页 返回 结束,可见，,矩阵,的,个列向量都是齐次方程组,的解,设齐次方程组,的解集为,则,从而有,即,又由定理4.7知，,所以,即,首页 上页 下页 返回 结束,若,元齐次线性方程组,与,同解，,则,这是因为这两个方程组有相同的解集,由定理,4.7，,从而,根据上述结论，,当矩阵,与,的列数相等时，,证,要,只需证明齐次方程组,与,同解,有,首页 上页 下页 返回 结束,例4.13,证明,证,显然，,矩阵,的列数相等，,证明齐次方程组,下面只需,与,同解,若,满足,则,即,反之，,若,满足,则,即,从而,因此，齐次方程组,与,同解,从而,首页 上页 下页 返回 结束,下面，再讨论非齐次线性方程组.,设非齐次线性方程组,（4-7）,则方程组（4-7）可表示成向量方程,（4-8）,方程组（4-7）的解向量也是方程（4-8）的解，,首页 上页 下页 返回 结束,由方程（4-8）可证得方程组（4-7）的解向量具有下,列性质：,性质3,若,和,都是方程（4-8）的解，,则,是对应的齐次方程,（4-9）,的解,证,是方程（4-9）的解,首页 上页 下页 返回 结束,性质4,若,是方程（4-8）的解，,程（4-9）的解，,是方,则,仍是方程（4-8）的解.,证,是方程（4-8）的解,由性质3可知，,若,是方程（4-8）的一个确定的,解（特解）,是方程（4-8）的任一解，,则,总可表,示为,其中,为方程（4-9）的解,首页 上页 下页 返回 结束,又由方程（4-9）的通解形式，,可表示为,其中,是方程（4-9）的基础解系，,方程（4-8）的任一解,从而,总可以表示为,由性质4可知，,对任何实数,上式都是方,程（4-8）的解,因此，方程（4-8）的通解为,首页 上页 下页 返回 结束,例4.14,求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵,作初等行变换，,把,变成行最,简形矩阵：,首页 上页 下页 返回 结束,解方程组为,方程组有无穷多解，,且同,首页 上页 下页 返回 结束,令,得,方程组的一个特解为,与同解方程组对应的齐次线性方程组为,首页 上页 下页 返回 结束,取,得,方程组的基础解系:,齐次线性,首页 上页 下页 返回 结束,故所求方程组的通解为,即,首页 上页 下页 返回 结束,本题对增广矩阵,作初等行变换时，,也可先把第,1列变为,然后再把后一个矩阵的第3列变为,最简形矩阵等效的矩阵：,得到与行,首页 上页 下页 返回 结束,这时，可选,为非自由未知数，,为自由未知,数，,同解方程组,首页 上页 下页 返回 结束,令,一个特解为,与同解方程组对应的齐次线性方程组为,首页 上页 下页 返回 结束,令,齐次线性方程组的基础解系为,所求方程组的通解又可表示为,首页 上页 下页 返回 结束,即,首页 上页 下页 返回 结束,
