江苏省南京市第三中学高三高考热身试卷一（2017-05-26）数学试题（解析版）

2017届江苏南京三中高考热身数学试卷一（2017-05-26）注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1.设全集，若集合，则_【答案】【解析】全集， =,故填2.已知（，i为虚数单位），则_【答案】1【解析】由，得，得，所以,故填1.3.式子的化简结果为_【答案】【解析】,故填.4.袋子中有大小、质地相同的红球、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得10分，摸出黑球，得5分，则3次摸球所得总分至少是25分的概率是_【答案】【解析】一共有8种不同的结果,列举如下:(红,红,红), (红,红,黑), (红,黑,红), (红,黑,黑), (黑,红,红), (黑,红,黑), (黑,黑,红), (黑,黑,黑),其中总分至少是25分的有(红,红,红), (红,红,黑), (红,黑,红), (黑,红,红)共4种,所以所求概率为,故填.点睛:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(2)每个基本事件出现的可能性相等如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)5.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为_【答案】6.8【解析】根据茎叶图的数据,计算甲的平均数为 乙的平均数为根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定,即方差较小,计算乙成绩的方差为,故填6.8.6.若满足约束条件，则目标函数的最大值是_【答案】6【解析】画出可行域可知，当目标函数过点时，有最大值为,故填6.点睛:本题考查简单的线性规划. 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.7.已知双曲线的离心率为2，则实数的值是_【答案】【解析】，所以，由，得，,故填.8.已知函数，的值域为，则实数的取值范围为_【答案】【解析】因为,所以,由正弦函数图像可知,所以的取值范围为.9.设等差数列an的公差不为0，若，且与的等比中项为，则=_【答案】4【解析】由，得，因为，所以，由，得，因为，所以,故填4.10.在三棱柱PABC中， PA，PB，PC2，且PA，PB，PC两两垂直，则此三棱锥外接球的体积是_【答案】【解析】三棱锥外接球的半径为，所以其外接球的体积为,故填.11.若函数是定义在R上的奇函数，当时，则不等式的解集为_【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数，所以；由，得，所以，又当时，单调递增，从而在上单调递增，所以有,故填12.已知，且，若点P满足，则的取值范围为_【答案】【解析】因为，由，得,故填13.若不等式对任意的恒成立，则实数x的取值集合为_【答案】【解析】画图可知，函数和函数连续在轴右边有相同的零点，令，得，代入中，得，或，注意到，所以实数的取值集合为,故填.14.设，则的最小值为_【答案】【解析】 ；当且仅当，时等号成立,故填24. 点睛:本题考查基本不等式的应用,属于中档题目. 解此类题目的两个技巧: (1)创设运用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立(2)既要记住基本不等式的原始形式，而且还要掌握它的变形形式及公式的逆用等，例如：，(a>0，b>0)二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知向量，其中.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.【答案】(1) 或;(2) .【解析】试题分析:（1）由，得，代入坐标计算,根据，解出值;（2）由，得，代入坐标计算即可.试题解析:（1）由，得，即，即，因为，所以，所以或，解得或 （2），由，得，即，整理得，因为，所以，等式两边同时除以得，即，解得或，因为，所以16.如下图在，四棱锥中，底面为矩形，侧面 底面， ；（1）求证：平面 平面；（2）若过点的直线垂直平面，求证： /平面. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析:（1）根据，侧面底面，可得平面，又平面, 所以平面平面;（2）由，可得平面试题解析:（1）证明：因为为矩形，所以，侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面 （2）由（1）知，平面，又平面，所以，又平面，平面，所以平面点睛:本题给出了特殊的四棱锥,求证线面平行和面面垂直,着重考查了空间平行,垂直的位置关系的判断与证明,属于中档题.线面平行一般利用线线平行推得,即线面平行的判定定理,也可根据面面平行得到;面面垂直的证明主要是利用面面垂直的判定定理证明,或者两个平面所成的二面角的平面角为直角.17.某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t分钟内投放净化剂的路径长度(单位：m)，净化剂净化水体的宽度(单位：m)是时间t(单位：分钟)的函数:(由单位时间投放的净化剂数量确定，设为常数，且).（1）试写出投放净化剂的第t分钟内净化水体面积的表达式；（2）求的最小值.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析:（1）根据题意去掉绝对值写出分段函数的表达式;（2）当40t60且tN*时，S(t)= 在40t60时单调递减；当t=60时，S(t)有最小值2a2+120当1t40且tN*时，S(t)= 100+a2+20a；若a=1或2或3时 S(t)在1t40范围中有最小值a2+2a +100在40t60时S(t)有最小值2a2+120当a=1时，100+a2+20a=121122=2a2+120，故S(t)有最小值121；当a=2或a=3时，100+a2+20a2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120若a4且1t40时， S(t+1)=100+a2+t+1+S(t)=100+a2+t+， S(t)在1t60时单调递减当t=60时，S(t)有最小值2a2+120试题解析:（1）由题意，.（2）当40t60且tN*时，S(t)= ，当t增加时减少，所以S(t)在40t60时单调递减；当t=60时，S(t)有最小值2a2+120当1t40且tN*时，S(t)= 100+a2+20a；若a=1或2或3时；当t=10a时，上述不等式中的等号成立，S(t)在1t40范围中有最小值a2+2a +100又在40t60时S(t)有最小值2a2+120当a=1时，100+a2+20a=121122=2a2+120，故S(t)有最小值121；当a=2或a=3时，100+a2+20a2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120若a4且1t40时，因为0，所以S(t+1)=100+a2+t+1+S(t)=100+a2+t+，故S(t)在1t40中单调递减；又S(t)在40t60时单调递减，所以S(t)在1t60时单调递减所以，当t=60时，S(t)有最小值2a2+120综上，若a=1，当t=10时，S(t)有最小值121；即第10天的销售额最少，为121千元若a4且aN*，当t=60时，S(t)有最小值2a2+12018.如图，已知椭圆C：，点A,B分别是左、右顶点，过右焦点F的直线MN（异于x轴）交于椭圆C于M、N两点.（1）若椭圆C过点，且右准线方程为，求椭圆C的方程；（2）若直线BN的斜率是直线AM斜率的2倍，求椭圆C的离心率.【答案】(1) 或;(2) .【解析】试题分析:（1）根据曲线上的点和右准线方程写出椭圆方程;（2）设，则，；因为点在椭圆上，所以，所以，联立方程消元,根据韦达定理可得，又,进而求得离心率.试题解析:（1）因为椭圆过点，所以，又已知右准线方程为，所以，可解得，；或，；所以椭圆的方程为或 （2）设，则，；因为点在椭圆上，所以，所以，设直线：，与椭圆：联立方程组消去得， ，将，代入上式化简得，又；所以，得，即，解得或，又，所以，即椭圆的离心率为点睛:本题考查直线与抛物线的位置关系的问题,其中过焦点的最短弦长为通径. 直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度看：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合.若，设.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离.19.已知数列和满足：.（1）若，求数列的通项公式；（2）若. 求证：数列为等差数列；记数列的前项和为，求满足的所有正整数和的值.【答案】(1) ;(2) ，【解析】试题分析:（1）当时，有，得，构造数列是首项为，公比为的等比数列；所以，即，所以（）;（2）当时，有（），按照n被4整除的余数分四类分别证明数列为等差数列;由知，则（）；由，得；按照,和时分别讨论,求出正整数和.试题解析:（1）当时，有，得，令，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列；所以，即，所以（） （2）当时，有（），（）时，所以为等差数列；（）；（）时，所以为等差数列；（）；（）时，所以为等差数列；（）；（）时，所以为等差数列；（）；所以（），所以数列为等差数列 由知，则（）；由，得；当时，；当时，则，因为，所以；从而，因为和为正整数，所以不存在正整数；当时，则，因为为正整数，所以，从而，即，因为为正整数，所以或；当时，不是正整数；当时，不是正整数；综上，满足题意的所有正整数和分别为，20.已知函数在点处的切线方程为，（其中为常数）.（1）求函数的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：（其中e为自然对数的底数）.【答案】(1) ;(2) ;(3)详见解析.【解析】试题分析:（1）对函数求导根据点斜式求出切线方程;（2）构造新函数，