2015届高考数学（理）一轮复习同步试题：2.10变化率与导数、导数的计算及几何意义

第10课时变化率与导数、导数的计算及几何意义1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数yc，yx，yx2，y的导数4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数对应学生用书P35【梳理自测】一、函数yf(x)在xx0处的导数1若函数f(x)2x21的图象上一点(1，1)及邻近一点(1x，1y)，则等于()A4B4xC42x D42x22已知函数f(x)sin xln x，则f(1)的值为()A1cos 1 B1cos 1Ccos 11 D1cos 13曲线yex在点A(0，1)处的切线斜率为()A1 B2Ce D.答案：1.C2.B3.A以上题目主要考查了以下内容：(1)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为(2)函数yf(x)在xx0处的导数定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率_为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)二、基本初等函数导数公式1(教材改编)函数yxcos xsin x的导数为()Axsin x Bxsin xCxcos x Dxcos x2下列求导过程；()；(logax)；(ax)(eln ax)(exln a)exln aln aaxln a.其中正确的个数是()A1 B2C3 D4答案：1.B2.D以上题目主要考查了以下内容：原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)三、导数运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)；(3)【指点迷津】1二个区别一个是区别f(x)与f(x0)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)是一个常数；f(x)是函数yf(x)的导函数是针对某一区间内任意x而言的第二个区别曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为kf(x0)，是唯一的一条切线；曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条2三个防范(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆(2)要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别(3)正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏对应学生用书P36考向一导数的运算求下列函数的导数(1)yex·ln x；(2)yx；(3)y；(4)yxsincos；(5)y(1).【审题视点】求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导【典例精讲】(1)y(ex·ln x)exln xex·ex.(2)yx31，y3x2.(3)y.(4)先使用三角公式进行化简，得yxsin cos xsin x，yx(sin x)1cos x.(5)先化简，y·1xx，yxx.【类题通法】(1)总原则：先化简解析式，再求导(2)具体方法连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导根式形式：先化为分数指数幂，再求导复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导1求下列函数的导数(1)yex·cos x；(2)y.解析：(1)y(ex)cos xex(cos x)excos xexsin xex(cos xsin x)(2)y.考向二导数的几何意义(1)(2014·郑州市高三质检)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则2ab的值为()A2B1C1 D2(2)(2014·昆明市高三调研)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1 B0C1 D2【审题视点】根据导数的几何意义先对函数求导，针对切点求切线斜率【典例精讲】(1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，yx3axb的导数y3x2a.解得a1，b3，2ab1.(2)依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即asin 02×0b，b0，mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1，选C.【答案】(1)C(2)C【类题通法】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解2(2014·山东烟台二模)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()A4 BC2 D解析：选A.由题意知g(1)2，又f(x)g(x)2x，yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)g(1)24.对应学生用书P37 导数的几何意义求切线时，切点易错(2014·杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或B1或C或 D或7【正解】设过(1，0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1，0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1，所以选A.【答案】A【易错点】(1)审题不仔细，未对点(1，0)的位置进行判断，误认为(1，0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系【警示】“曲线yf(x)在P点处的切线”与“曲线过P点的切线”不同，前者P为切点，后者P不一定为切点此类题首先确定点是否为曲线的切点1(2013·高考广东卷)已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a()A9B6C9 D6解析：选D.先对函数求导，利用导数的几何意义得出点(1，a2)处的切线斜率，解方程可得y4x32ax，由导数的几何意义知在点(1，a2)处的切线斜率ky|x142a8，解得a6.2(2012·高考新课标全国卷)曲线yx(3ln x1)在点(1，1)处的切线方程为_解析：y3ln x4，ky|x14，y14(x1)，y4x3.答案：y4x33(2013·高考江西卷)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_解析：令ext，则xln t，所以f(x)ln xx，即f(x)1，则f(1)112.答案：24(2013·高考江苏卷)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_解析：先利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法进行求解由于y2x，所以抛物线在x1处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.画出可行域(如图)设x2yz，则yxz，可知当直线yxz经过点A，B(0，1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax，最小值zmin2，故取值范围是.答案：