2013陕西高二数学同步：3.1《空间向量及其运算》（新人教a版选修2-1）

新课标高二数学同步测试（21第三章3.1）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）图1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD2在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）ABCD3已知平行六面体中，AB=4，AD=3，则等于（ ）A85 B C D504与向量平行的一个向量的坐标是（ ）A（，1，1） B（1，3，2） C（，1） D（，3，2）5已知A（1，2，6），B（1，2，6）O为坐标原点，则向量的夹角是（ ）A0 B C D6已知空间四边形ABCD中，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=（ ）A BC D7设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则DBCD是（ ）A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定8空间四边形OABC中，OB=OC，ÐAOB=ÐAOC=600，则cos=（）ABC-D09已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为（ ）ABCD10 已知，则的最小值为（ ）ABCD二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）11若，则为邻边的平行四边形的面积为12已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基组表示向量，有=x，则x、y、z的值分别为 13已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则DABC的形状是14已知向量，若成1200的角，则k=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)15（12分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在'上，且，试求MN的长16（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且BDC=90°，DCB=30°.图（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为，求cos的值17（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直18（12分）四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， =2，1，4，=4，2，0，=1，2，1.（1）求证：PA底面ABCD；（2）求四棱锥PABCD的体积；（3）对于向量=x1，y1，z1，=x2，y2，z2，=x3，y3，z3，定义一种运算：（×）·=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义.19（14分）如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos< >的值；（3）求证：A1BC1M.20（14分）如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60°.（1）证明：C1CBD；（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.参考答案一、1A；解析：=+（）=+评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足且既可只有选项A3B；解析：只需将，运用向量的内即运算即可，4C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即5C；解析：，计算结果为16B；解析：显然7B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形8D；解析：建立一组基向量，再来处理的值9D；解析：应用向量的运算，显然，从而得10C；二、11；解析：，得，可得结果12 ；解析：13直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：14；解析：，得三、15解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）由于M为的中点，取中点O'，所以M（，），O'（，a）因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，a）根据空间两点距离公式，可得16解：（1）过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中,由BDC=90°,DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，DE=CD·sin30°=.OE=OBBE=OBBD·cos60°=1.D点坐标为（0，），即向量ODTX的坐标为0，.（2）依题意：，所以.设向量和的夹角为，则cos=.17 证：如图设，则分别为，由条件EH=GH=MN得：展开得，（）即SABC同理可证SBAC， SCAB18（1）证明：=22+4=0，APAB.又=4+4+0=0，APAD.AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，AP底面ABCD.（2）解：设与的夹角为，则cos=V=|·|·sin·|=（3）解：|（×）·|=|43248|=48它是四棱锥PABCD体积的3倍.猜测：|（×）·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.图19如图，建立空间直角坐标系Oxyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）| |=.（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）=1，1，2，=0，1，2，·=3，|=，|=cos<，>=.（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），=1，1，2，=，0.·=+0=0，A1BC1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.20（1）证明：设=，=，=，则| |=|，=，·=（）·=··=|·|cos60°|·|cos60°=0，C1CBD.（2）解：连AC、BD，设ACBD=O，连OC1，则C1OC为二面角BD的平面角.（+），（+）·（+）·（+）=（2+2·+2）··=（4+2·2·2cos60°+4）·2·cos60°·2·cos60°=.则|=，|=，cosC1OC=（3）解：设=x，CD=2， 则CC1=.BD平面AA1C1C，BDA1C只须求满足：=0即可.设=，=，=，=+，=，=（+）（）=2+··2=6，令6=0，得x=1或x=（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.