2013高三数学一轮复习同步6.1
第六章 平面向量与复数6.1 平面向量的概念及线性运算随堂演练巩固1.已知向量a, b,且3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)= 0,则向量x=.【答案】-3a+4b【解析】 (3+2-4) x=-3a+4a-4a+4b,x=-3a+4b.2.已知e1,e2是两个不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2.若a与b是共线向量,则实数k=.【答案】-2【解析】a=b,2e1-e2=(ke1+e2),解得.3.在ABCD中，=a,=b,=3,M为BC的中点，则=.(用a,b表示)【答案】 a+b【解析】由=3得4=3=3(a+b)，=a+ b，所以= (a+b)(a+b)=a+b.4.ABC中，C=,AC=1,BC=2,则f()=|2+(1) |的最小值是.【答案】【解析】延长CA至A，使=2,所以f()=|+(1) |，因为+(1)=1,设=+(1),则点P在直线AB上，因此当时，|最小，即f()取最小值，而AC=1，BC=2，故f()取最小值.课后作业夯基1.已知实数m,n和向量a,b,给出下列命题:m(ab)=mamb;(mn)a=mana;若ma=mb,则a=b;若ma=na(a0),则m=n.其中正确命题的序号是_.【答案】【解析】正确.中m0时正确.由ma=na,得(mn)a=0,又a0,所以m=n.2.向量a,b都是非零向量,以下四个命题:向量a与b同向,则向量a+b与a的方向相同;向量a与b同向,则向量a+b与b同向;向量a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b与b的方向相同;向量a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b与b方向相同.其中说法正确的是_.【答案】【解析】正确.a+b与a方向相同.正确.3.已知O，N，P在ABC所在平面内，且|=|=|，+=0，且·=·=·，则点O、N、P依次是ABC的心、心、心.【答案】外 重 垂【解析】由|=|=|知O为ABC的外心；由+=0知N为ABC的重心.·=·，()·=0.·=0.,同理.P为ABC的垂心.4.(2012届江苏连云港期中)如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设=a, =b,若=2,则= (用向量a和b表示).【答案】a+b【解析】ABCD,=.=+=b+ (-)=a+b.5.在四边形ABCD中,=(1,1), +=,则四边形ABCD的面积为.【答案】【解析】由于=(1,1),则四边形ABCD是平行四边形且|=,又由+=,得BC、CD(BA)与BD三者之间的边长之比为11,那么可知DAB=120°,所以AB边上的高为.所以四边形ABCD的面积为×=.6.在平行四边形ABCD中, E和F分别是边CD和BC的中点.若= +,其中,R,则+=_.【答案】【解析】=+，=+， =+,+= (+)=，所以= (+)，故+=.7.若点M是ABC所在平面内的一点，且满足=+，则ABM与ABC的面积之比为.【答案】【解析】设=，=，则+=.ABM与ABC的面积之比为点M到边AB的距离与点C到边AB的距离.又点M到边AB的距离等于点E到边AB的距离，ABM与ABC的面积之比为.8.在OAB中,=a,=b,OD是AB边上的高,若=,则实数等于_.【答案】【解析】由=,得=(),即=(1)a+b.又·=0,(1)a+b·(ba)=0,即(12)a·b(1)a2+b2=0.a·b+a2=(a2+b22a·b).= .9.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足 =+()，>0，则点P的轨迹一定通过ABC的心.【答案】重【解析】作ADBC于D，则|sinB=|sinC=|,=+().= (+).+过ABC的重心，过ABC的重心.10.一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，河水的流速为2 km/h，求船实际航行的速度的大小与方向.【解】设表示船垂直于对岸的方向，表示水流的方向，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的方向.在RtABC中，|=2，|=2,所以|=4.因为tanCAB=,CAB=60°.所以船实际航行的速度的大小为4 km/h，方向与水流方向的夹角为60°.11.已知a,b是两个不共线的非零向量,若ab且a与b起点相同,问实数t取何值时,向量a,t(ab), (a+b)的终点在同一条直线上?【解】设=a,=t(ab),= (a+b),则= (a+b)a= (b2a),=t(ab)a=(t1)atb.因为A,B,C三点在一条直线上,所以存在实数,使=,即 (b2a)=(t1)atb,也即(t+)a(t+)b=0.又因为a,b不共线,所以解得故当t=1时,则三向量的终点在同一条直线上.12.(1)如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若=a,=b,试用a,b表示向量，.(2)在(1)中，当点P，Q三等分线段AB时，有+=+.如果点A1，A2，An1是线段AB的n(n3)等分点，你能得出什么结论？请证明你的结论.(3)条件同(1)，(2)，试用a,b表示向量k(1kn).【解】(1)=ab，=+ =+=a+b,=+ =+=a+b.(2)结论1： =+=+.=, =+=+, =+=+=, +，得+ =+.结论2：+= (+).由得+=(+)+(+)+(+)=(n1)+1+2+(n1)=(n1)+=(n1)+ ()= (+).(3)由得=+=+ ()=+=b+a.
