2013年高二新课程数学人教a版选修2-2学案：2.2.2《反证法》

§2.2.2 反证法学习目标 1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.学习过程 一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：直接证明的两种方法:和;复习2：是间接证明的一种基本方法.二、新课导学学习探究探究任务：反证法问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题.这种证明方法叫.试试：证明：不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.典型例题例1 已知,证明的方程有且只有一个根.变式：证明在中,若是直角,那么一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.动手试试练1. 如果,那么.练2. 的三边的倒数成等差数列,求证:.三、总结提升学习小结1. 反证法的步骤：否定结论；推理论证；导出矛盾；肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.知识拓展空城计与反证法空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.学习评价 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）.A假设三内角都不大于B假设三内角都大于C假设三内角至多有一个大于D假设三内角至多有两个大于2. 实数不全为0等价于为（ ）.A均不为0B中至多有一个为0C中至少有一个为0D中至少有一个不为03.设都是正数，则三个数（ ）.A都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于24. 用反证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的反设为.5. “”是“”的条件. 课后作业 1. 已知,且.试证:中至少有一个小于2.2. 证明不是有理数.