随机波动率模型
随机波动率模型 Stochastic volatility model,内容框架,简介 SV模型的设定（与GARCH对比） SV模型的矩条件（两种情况下） SV模型的广义矩估计（GMM） 模特卡罗模拟评判估计方法 其他估计方法,简介,经济或金融时间序列存在着普遍的波动性现象，而波动性是描述金融市场研究的一个核心问题，它通过金融收益率的方差来测度。目前研究金融衍生物的价格的波动模型主要有随机游走模型 (Random Walk)、对数正态分布模型等，而主要有两类： 一类是由诺贝尔经济学奖获得者、美国著名的统计学家Engle 于1982 年在研究英国通货膨胀指数问题时提出的自回归条件异方差（ autoregression conditional heteroscedasticity variance）模型，简称ARCH 模型以及后来由Bollerslev 提出的GARCH类模型； 另一类是Taylor 于1986年在解释金融收益序列波动的自回归行为时提出的随机波动模型（Stochastic volatility model），简称SV 模型。,1.随机波动率模型（SV）的设定,GARCH与SV的数据模拟,GARCH与SV模型的比较,由于ARCH 类模型将条件方差定义为过去观测值的平方项和前期条件方差的确定性函数, 条件方差的估计与过去观测值直接相关, 因此当存在异常观测值时, 估计的波动性序列将不很稳定, ARCH 类模型对于长期波动性的预测能力也较差。 SV 中新的随机变量的引入，使得无论是从长期波动性的预测能力来看，还是从波动率序列的稳定性、抑或对资产定价理论的应用来看，它都是优于ARCH 类模型的。 教材P140-141做出了收益率，收益率平方以及条件方差的自相关函数。其中收益率的各阶自相关函数都不显著。收益率平方以及条件方差的部分自相关函数都是显著的。体现了收益率的波动率集聚特征。,由于 平稳性，可知 因为 可以展开为一个 则有以下：,但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求解。,2.SV模型的矩条件,之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用 原点矩 中心矩 中心绝对值矩 正态分布矩条件 原点矩 中心绝对值矩,对数正态分布 密度函数 对数正态分布的均值、方差、原点矩公式： 它们在计算SV模型的矩条件时使用。,SV模型（ ）,对于 （1）,（2）,（3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：,SV模型（ ）,此时，模型变形为：,的各阶矩条件（使用条件期望的迭代性质）： 由于式中包含 ，而 的边际分布与 边际分布同为 。 可根据对数正态分布矩条件公式计算。所以，关键是要计算 。 但是， 相关使得矩条件计算比不相关情形更为复杂。,根据Jiang、Knight和Wang（2007）导出SV模型的矩条件： （1）,（2）其他矩条件,3.SV模型的广义矩（GMM）估计,与ARCH/GARCH类模型相比，SV模型的估计要复杂得多。因为SV模型中波动率过程是潜藏的，即不可直接观察。因此，任何估计步骤必须处理潜变量，一般要使用替代变量或在似然函数中通过积分去掉潜变量。由于似然函数中的高维积分一般难以降到一维（或大幅降维）积分，数值积分往往需要先将连续时间模型离散化，然后模拟期路径，因此需要非常大的计算量。这里重点介绍通过前面导出的矩条件而使用广义矩方法（GMM，Generalized Method of Moments）来估计SV模型。,GMM估计量具有良好的性质。Hansen（1982）证明，在一定的正规性条件下（主要是样本数据的平稳性）：,GMM估计分为以下几个步骤： 过度识别检验,4.蒙特卡罗模拟,GMM估计中需要确定用于估计的矩条件。（什么样的矩条件和矩条件个数） 选择合意矩条件的典型方法是蒙特卡罗模拟。 基本想法：假设模型正确，据模型和设定的参数模拟出数据，选定矩条件对模型进行估计，如果估计方法有合意的性质，则模型参数估计比较精确。由于抽样的随机性，重复上面的做法若干次，获得大量的估计然后在此基础上评价估计方法的表现。,用蒙特卡罗模拟评价GMM估计SV模型的有限样本表现的典型步骤： （1）设定一组SV模型的参数。多组且组间参数有变化。 （2）据参数和初始值模拟一条样本路径。样本路径长度不同以观察估计表现。 （3）据样本用特定矩条件GMM估计，记录参数值。 （4）重复（2）,（3）每一参数得到多个估计，基于每一参数的多个估计值，评定特定矩条件GMM估计的表现。 Jiang、Knight和Wang（2007）：P152-154,5.其他估计方法,SV 模型由于估计的困难而受到了诸多限制, 主要的困难是对模型的参数估计方法的实现, 即使在一般正态假设下, 对SV 模型进行参数估计也很难得到解, 如很难得到其似然函数和无条件距的形式。目前较常用的参数估计方法主要有以下几种。 包括拟极大似然估计方法(QMLE) (Ruiz,1994) ，极大似然估计(MLE) (Lo(1988)，模拟矩矩方法(SMM，间接推断，有效矩方法，实证特征函数法(ECF) 马尔可夫链蒙特卡罗方法（MCMC）(Kim , Shephard,Chib,1998;Green,1995) 最流行方法:马尔可夫链蒙特卡罗方法（MCMC） 涉及:贝叶斯分析、Gibbs抽样、WinBUGS编程,
