数学建模国奖作品

创意平板折叠桌摘要本文研究分析了一种平板折叠桌的结构特点，这种平板折叠桌在闲置时可以折叠成一张厚木板；腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度打开后可以展开成一张桌子。非常方便实用，而且造型新颖，美观大方。针对第一问，本文通过对题中的图片信息以及所给的附件当中的视频信息，利用编程，对该创意平板折叠桌桌面进行了多次的拟合。在满足题目的要求下，本文对圆周的直线插补做了多种方案。在其中的一种方案加入了黄金分割比对桌面的尺寸进行了修改，得到了符合实际而且美观的尺寸。然后在桌面上建立坐标系计算出了每个桌腿的长度，并通过几何关系计算出了开槽长度。然后用计算出的数据制作了小桌的三维模型。最后进行了动态模拟，用求出线型数学描述。针对第二问中提出对任意跟定桌面的直径与高度，设计出稳固性好，加工方便，用材最省的桌体。本文在解决中首先综合以上三个因素对桌体进行设计。最后得出最有设计方法。然后联系问题列出约束方程，以最简单的方法联合空间投影，求解出未知参数。其中最为主要的就是将复杂问题简单准确求解。针对第三问中提出开发一种折叠桌设计软件，本文根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出了所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。本文中针对模型提出的问题进行了详细的回答，其中创造性的提出用黄金分割比的方法来确定最边缘木条与次边缘木条的长比关系，很实用，也很方便，更是使设计美观；其次在模拟实物时使用了机械设计加工软件CATIA，作出了精美正确的模拟实物图；再者在曲线拟合上使用了CAD、MATLAB等实用性软件，使曲线更接近真实值；并且本文中所有公式都是由最基础的表达式变化而来，未引进任何专家论文公式；最后本文采用了VB程序设计来编写数学模型。但是，本文针对问题提出的解答还有不足，如对已知任意形状桌面和高度的木板进行设计，思维和计算量过大。关键词：圆周拟合 插补算法 编程 动作仿真 草图绘制 1、 问题的提出 (1).给定了长方形平板的三围尺寸：，其中作为桌腿的每根木条宽度是，贯穿所有桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数，包括桌腿木条开槽的长度等，以及桌脚边缘线的数学描述。(2) .在保证产品稳固性、易加工性和经济性的前提下求出最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高，桌面直径的情形，确定最优设计加工参数。(3).设计一个软件帮助公司根据客人要求任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。二、问题分析对于第一问，我们组利用软件设计了一个可以对圆周进行拟合的简易程序。通过这个程序，对圆弧进行了拟合。在实验多次之后，我们找到了一个可以不错的表达出这个圆形桌面大体轮廓而又不致太失真的插补方法。在通以上算法求出的构建尺寸，通过制作了构建的立体结构，然后装配成了题目中的折叠小桌。然后用的运动仿真，作出了小桌的运动过程。三、符号说明木条桌腿的编号，代表象限，代表桌腿的编号桌面去掉桌腿的编号，代表象限，代表桌腿的编号桌腿与桌面交线到钢筋节点的间距相邻木条端部间距木条与桌面夹角槽下端到桌腿下端的距离桌腿的槽长四、模型假设1. 假设中间的两根木条长度相等，且折叠木桌是对称结构。2. 折叠木桌桌腿与桌面之间的铰链为普通圆柱铰链。3. 各个构建之间充分润滑，可以自由转动，摩擦阻力忽略不计。5、 问题一的模型建立与求解问题一的求解5.1.1平板折叠桌桌面插补算法的建立及结果 我们组先把桌面假设成为圆形的，然后在在圆面上面以圆的中心为坐标原点，以相互垂直的过圆心的直线作为坐标系的轴和轴。如图1： 图1建立如图的直角坐标系建立好直角坐标系以后，就开始进行圆周的拟合。从坐标系中可以看出，由于圆的半径已知，因此可以很容易的写出圆的方程。已知圆的方程以后，带入值以后就可以求出该点到轴的距离（即值），在题目中已知了每一个木条的宽度都是，那么就可以选定一个值（）作为第一根木条（从第一象限顺时针方向计数）落在圆周上的点。例如图4：交点2交点3交点1圆弧1圆弧3圆弧2桌腿图2 桌腿与圆周交点情况示意图 图2中的绿色线代表木条的宽度，那图2中的黄、蓝、棕三条圆弧与代表木条的绿色线段有不同的交点，这取决于选择绿色线段上的哪一点来拟合圆周。由于每根木条的宽度都相等，等于（图2中的绿色线段的长度），因此，其后的木条的在第一根木条的圆上点的横坐标值上面累加即可（累加10次，以位于直角坐标系第一象限的圆弧作为计算对象）。然后带入圆的方程中计算出对应的值，其中。这些值就是图1中的平行于轴的线段到达轴的距离。全部求出后就可以画出桌面的三围图形。在进行圆周拟合的时候，为了方便起见，我们编写了一个建议的程序（程序代码在附件中），输入值可以自动计算出值。把的值全部计算出来并且记录下来之后，就可以用结合数据把三围立体图画出来。其程序界面如图3：图3运行界面图在“值”的栏目下输入不同位置（在不同木条上）的点的坐标值，然后点击计算命令按钮，就可以在“值”栏目下的里面显示出当前栏目下横坐标对应的的值；而在下面的“计算终值”命令按钮是用来计算最后也就是最长的一根木条上在圆周上的点的横坐标的结合上面的程序，可以方便的计算出圆周上差距最大的两根木条的长度差，看这一差值的大小可以直观的看出插补算法拟合圆周的好坏程度。通过上面的程序，我们计算出了三种情况：（1）木条的左端点位于圆上的情况；（2）木条的中点位于圆上的情况；（3）木条的右端点位于圆上的情况。 （1）木条的左端点位于圆上的情况：表1 木条左端位于圆上时木条与圆的交点的值与值：X02.55.07.510.012.51517.520.022.5Y25.0024.8724.4923.8522.9121.6520.0017.8515.0010.89图4是第一种情况按照表1数据用绘制的效果图：图4按照表1绘制的效果图 从图4可以看出与过大，而，而且圆周边缘直线长过长为，与题中所给的图片比例严重不符，因此，第一种情况是不符合实际，不能采用的。（2）木条的中点位于圆上的情况：表2木条中点位于圆上时木条与圆的交点的值与值：X1.253.756.258.7511.2513.7516.2518.7521.2523.75Y24.9624.7124.2123.4222.3320.8818.9916.5413.177.81图5是第二种情况按照表2数据用绘制的效果图：图5按照表2绘制的效果图但发现说明与长度差距很大，而且在圆周边缘直线过长，其长度等于，相当于圆形桌面直径的长度，与实际情况不符，因此第二种情况也不可取。（3）木条的中点位于圆上的情况：表3木条右端点位于圆上时木条与圆的交点的值与值：2.55.07.510.012.515.017.520.022.525.0Y24.87 24.4923.8522.9121.6520.0017.8515.0010.890图6是第二种情况按照表3数据用绘制的效果图：图6按照表3绘制的效果图但是从表3或者图6都可以看出，圆边缘直线的长度为，与实际不符。但是其他的各个木条长度的比例以及各个木条之间的差值可以很好地模拟出实际圆周的情况。因此采取这种情况要优于以上两种，但是要对这一项进行修改。由于，因此差距过大，必须要进行修改，将与比例改为黄金分割比即，这样桌面看起来更加符合实际。经计算。此时，。这样与相差不大，而且圆周边缘直线的长度为，长度大约为桌面直径的，与实际比较符合，也更加美观。对上面的计算结果进行分析，我们决定采用修改后的第三种方案。最终的值与的情大小况见表4：表4改进后的木条与圆的交点的值与值：2.55.07.510.012.515.017.520.022.525.0Y24.87 24.4923.8522.9121.6520.0017.8515.0010.896.74图7按照表4绘制的效果图5.1.2平板折叠桌的工艺参数的确定（1） 求桌腿的长度，仍以第一象限作为研究对象。 现在用最实际的模型（第三种情况修改后）进行计算，分析探讨桌腿木条的长度。其简图如图8：设（木板长一半）如图8：60120图8桌子平板时的数据标注 现在需要求第一象限中的所有桌角木条的长度：到的十根桌腿的长度值为（值在表4中有）。表5长度（单位）：53.2649.1045.0042.1540.0038.3537.0936.1535.5135.13（2） 计算开槽长度及位置贴桌面处贴地处内侧线图9桌脚的状态 桌脚的情况如图9所示，在下面的计算中，均用桌脚的内侧线进行计算。从题目中所带的图片可以看出，作为桌腿的所有木条都被钢筋穿透，当桌子展开时，桌腿内的凹槽下端应该都在钢筋上面，也就是展开成桌子时的左桌腿开槽的下端应在一条直线上。而桌子收起来时，所有槽的顶端也在一条直线上。图11是从钢筋P的轴线方向观察的。图11桌腿件几何关系 木条上的槽与计算中用到的参数在图11中标注：图12与的几何关系又已知了桌面距离地面的高度是而且桌子厚度为那么可以求出桌面下表面距离地面的距离：设与地面的夹角为，见图12，则有且。求得桌腿与桌面贴合线处到桌腿开槽的下端（收起成平板时远离桌面的一端）到桌面的距离。又因为在桌子收起来时所有的桌腿上面的槽的端点都贴在了钢筋上，而且在最后变成平板时，所有的槽的上端都在钢筋上，而钢筋一定穿过最外侧的桌腿的中点，且是不可滑动的，因此可以计算出槽的上端点到达桌腿下端的的距离为。通过这个距离的差值，就可以计算出桌腿上的开槽的长度。设桌面到钢筋节点的距离为，桌面相邻木条贴桌面端相聚，木条与桌面的夹角为。那么，可以得到如下方程： ， ，计算完成后的、值如表6表6计算结果表序号14.16226.632526.632524.10322.470526.470332.8522.659722.340342.1523.22118.92951.6523.86116.13961.2624.46913.88170.9424.996712.093380.64