数学建模5香烟过滤嘴的作用

香烟过滤嘴的作用,问题 烟草公司普遍地在香烟尾部装上一截过滤嘴， 但是过滤嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的 关系？在这一段中，我们建立相应的数学模型来具体讨 论这个问题。,分析,吸烟时毒物吸入人体的过程大致为：由于毒物基本上 均匀地分布在烟草中，吸烟时点燃的烟草大部分化为烟 雾，毒物由烟雾携带一部分直接进入空气，另一部分沿 香烟穿行，在穿行过程中又部分地被未点燃的烟草和过 滤嘴吸收而沉淀下来，剩下的进入人体。被烟草吸收而 沉淀下来的那一部分毒物，当香烟燃烧到那里的时候又 通过烟雾部分进入空气，部分沿香烟穿行，这个过程一 直到香烟燃烧到过滤嘴处为止。,在整个过程中，原来分布在烟草中的毒物除了进入空 气和被过滤嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人体吸入.,模型假设,1. 烟草和过滤嘴的长度分别是 ，毒素 （毫克） 均匀地分布在烟草中，密度为,2. 点燃处的毒物随烟雾进入空气和沿烟草穿行的数量 比例是,3. 未点燃的烟草和过滤嘴对烟雾穿行的毒物的吸收率 分别是常数,4. 烟草沿香烟穿行的速度是常数 香烟的燃烧速度 是常数 且,将一支烟吸完后毒物进入人体的总量记为 常识告 诉我们，量 与过滤嘴的吸收率、烟草中毒物的初始含 量有关，因此降低 的含量及降低烟雾在香烟总的穿 行速度都是降低吸入量的有效方法。,模型建立,设在时刻 及 处点燃香烟，为此建立相应 的坐标系统：吸入毒物量 由毒物穿过香烟的流量确 定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为此定义函 数：,毒物流量 表示在时 刻 时单位时间通过香烟截面 处的毒物量；,毒物密度 表示时刻 截面 处单位长度烟草 中的毒物含量。,如果知道了流量函数 ，吸入的毒物流量 就 是 处的流量在吸一支烟时间内的总和。即,下面分4个过程来计算 值。,1.在 瞬间由烟雾携带的毒物在单位时间内通过 处的数量 由假设4 知在香烟点燃处 静止不动。,记 考察 所对应的一段 香烟，毒物通过 和 处的流量分别是 和 则根据守恒定律，这两个流量之差等于这 一段未点燃的烟草或过滤嘴的毒物的吸收量，由假设2 及4，有,其中 是烟雾穿过长度为 的这一段香烟所需 要的时间，令 则有微分方程：,在 处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作,根据假设1、3、4，则可得微分方程2的初始条件为,求解微分方程。首先由方程及初始条件,方程的通解为 再由初始条件得 从而得到方程的解为,对于方程及初始条件,同样可得方程的解为,即方程的解可以表达为,2. 在香烟燃烧的任何时刻 求毒物在单位时间内通 过 的数量,因为在时刻 时，香烟燃至 处，记此时点燃的 烟草在单位时间放出的毒物量为 则,仿1可得,3.确定,由于在吸烟过程中，未点燃的烟草不断得吸收烟雾中 的毒物，所以毒物在烟草中的密度 由初始值 逐渐增加。考察烟草截面 处在 时间内毒物密度的增 量 根据守恒定律它等于在单 位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，由假设4，则有,令 并将、代入得方程,此方程为偏微分方程，该方程的解为,其中 （由假设2）,4. 计算,将代入中，得,最后将代入式作定积分得：,为便于对结果的分析，将上式写成,记 则式可写成,式即是我们需要的最终，该式表达了吸入量 与 等因素之间的关系。,结果分析,1. 与烟草含毒物量 、毒物随烟雾沿香烟穿行比例 成正比。可以设想为将毒物 集中在 处，则吸 入量为,2.因子 体现了过滤嘴对减少毒物进入人体的作 用，提高过滤嘴的长度 及吸收率 降低穿行速度 也可降低吸入量。,3. 因子 表示的是未点燃的烟草对毒物的吸收而起 到的减少 的作用。,根据实际数据有 则,4. 比较,为了比较过滤嘴的作用，取两支香烟作比较，两支香 烟的长度均为 一支带过滤嘴，长度为 吸入量分别 为 则有,可见只要 过滤嘴就体现了相应的作用。,