数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--13章
第十三章 重积分 习 题 13.1 有界区域上的重积分 第十三章 重积分 习 题 13.1 有界区域上的重积分 1. 设一平面薄板（不计其厚度） ，它在xy平面上的表示是由光滑的简 单闭曲线围成的闭区域 D。 如果该薄板分布有面密度为µ( , )x y的电 荷，且µ( , )x y在 D 上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电 荷。 解解 设电荷总量为，则 Q = D dyxQµ),(。 2. 设函数在矩形 Df x y( , ) 1 , 0, 0×=上有界，而且除了曲线段 yxx=sin , 0外，在 D 上其它点连续。证明在 D 上可 积。 f x y( , )f 证证 设D),( ,),(yxMyxf，将 D 用平行于两坐标轴的直线分成 个小 n 区域，记), 2 , 1(niDi?= 1 max diam i i n D =，不妨设), 2 , 1(kiDi?=将曲 线段sin , 0yxx=包含在内，于是在有界闭区域上连 续，因此在上可积，即 f x y( , ) n ki i D 1+= f x y( , ) n ki i D 1+= 0, 0 1 ，当 1 + + D dxdyyx 2 )( + D dxdyyx 3 )(。 （2）因为在上成立 ，所以 ，于是 D3xy+ 2 )ln()ln(yxyx+( , )()； (3) ； dxf x y dy x 0 2 0 ( , ) sin (4) ； dyf x y dxdyf x y dx yy 0 1 0 2 1 3 0 3 + ( , )( , ) (5) （改成先方向，再 方向和 方向的次dx dyf x y z dz xx y 0 1 0 1 0 + ( , , )yxz 2 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 序积分） ； (6) dxdyf x y z dz x x xy + 1 1 1 11 2 2 22 ( , , )（改成先 方向，再方向和 方 向的次序积分） 。 xyz 解解（1）。 = b y b a x a b a dxyxfdydyyxfdx),(),( （2） 2 22 02 ( , ) aax ax x dxf x y dy 22 2 0 2 ( , ) aaay y a dyf x y dx = + + aa yaa dxyxfdy 0 2 22 ),( + a a a a y dxyxfdy 22 2 2 ),(。 （3）。 dxf x y dy x 0 2 0 ( , ) sin = 1 0 arcsin arcsin ),( y y dxyxfdy + 0 1 arcsin2 arcsin ),( y y dxyxfdy （4）=+ yy dxyxfdydxyxfdy 3 0 3 1 2 0 1 0 ),(),( 2 0 3 2 1),( x x dyyxfdx。 （5） dx dyf x y z dz xx y 0 1 0 1 0 + ( , , ) 。 = 1 0 1 0 1 0 ),( x dyzyxfdxdz 1 000 ),( zxz dyzyxfdxdz 注：也可写成。 + x xz zx z dyzyxfdxdzdyzyxfdxdz 1 0 1 0 1 0 11 0 ),(),( （6） = + 11 1 1 1 22 2 2 ),( yx x x dzzyxfdydx 1 0 22 22 ),( z z yz yz dxzyxfdydz 。 6 计算下列重积分： (1) ，其中为抛物线和直线 D dxdyxy2Dy22=pxx p p= 2 0()所围 的区域； (2) )0( 2 a xa dxdy D ， 其中为圆心在， 半径为 并且和坐 标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域； D( , )a aa (3) ，其中为区域( + D dxdy yx eD, )| | | |x yxy+1； (4) ， 其 中D为 直 线+ D dxdyyx)( 22 yx yxa ya=+=,和 所围的区域； )0(3=aay (5) ，其中为摆线的一拱 D ydxdyD )cos1 (),sin(tayttax=)20( t与x轴所围的区域； (6) + + D dxdyxy yx)( 2 1 22 e1， 其中为直线D1,=yxy和所围的 区域； 1=x (7) ，其中 ； D ydxdyx20, 21,2| ),( 22 xyxxyxyx+=D 3 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (8) ，其中 为曲面xy z dxdydz 23 zxy=，平面yx x=,1和 所围的区域； z = 0 (9) dxdydz xyz(1 3 + ) ， 其中为平面xyz=00,0 2 ) 和 所围成的四面体； 1=+zyx (10) ， 其 中 为 抛 物 面与 平 面 所围的区域； zdxdydz zxy=+ 2 zh h=(0 (11) ， 其 中为 球 体和 dxdydzz 22222 Rzyx+ Rzzyx2 222 + )0(R的公共部分； （12），其中 为椭球体 dxdydzx21 2 2 2 2 2 2 + c z b y a x 。 解解（1） D dxdyxy2= p p p p y p p dy p y pyxdxdyy)( 8 1 2 4 22 2 2 2 2 5 21 1 p。 （2） = = axaxaa dxx xa a dy xa dx xa dxdy 0 2 00 222 2 D = 2 3 ) 3 8 22(a。 （3） + D dxdy yx e=+= + x x yx x x yx dyedxedyedxe 1 1 1 0 1 1 0 1 e e 1 。 （4） + D dxdyyx)( 22 += y ay a a dxyxdy)( 22 3 4 3 322 14) 3 1 2(adyayaay a a =+=。 （5） D ydxdy= 2 0 3 3 )( 0 2 0 )cos1 ( 2 dtt a ydydx xya 3 2 5 a 。 （6） + + D dxdyxy yx)( 2 1 22 e1 += + 1 )( 2 1 1 1 22 1 y yx dxxeydy 3 2 ( 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 = += + dyydyeeyyy y y 。 （7） D ydxdyx2 20 49 )( 2 1 22 2 2 1 2 2 = dxxxxydydxx x xx 。 （8）xy z dxdydz 23 364 1 4 1 0 6 1 0 5 0 3 0 2 1 0 = xxyx dyydxxdzzdyyxdx。 4 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m （9） dxdydz xyz()1 3 + + = yxx zyx dz dydx 1 0 3 1 0 1 0 )1 ( + = x dy yx dx 1 0 2 1 0 4 1 )1 ( 1 2 1 = + = 1 0 4 1 2 1 1 1 2 1 dx x x16 5 2ln 2 1 。 （10）zdxdydz 3 0 2 0 3 1 hdzzdxdyzdz hh z = 。 （11） = R z dxdydzzdxdydzz 0 22 =+= R R R dzzRzdzzRzz 2 222 2 0 22 )()2( 5 480 59 R。 （12） = a a x dydzdxxdxdydzx 22 = a a dx a x xbc)1 ( 2 2 2 bca3 15 4 。 7设平面薄片所占的区域是由直线xyyx=+, 2和 轴所围成，它的 x 面密度为，求这个薄片的质量。 ( , )x yxy=+ 22 解解 设薄片的质量为m，则 += y y D dxyxdydxdyyxm 2 22 1 0 )(),( 3 4 ) 3 8 44 3 8 ( 1 0 32 =+=dyyyy。 8. 求抛物线与所围图形的面积。 ypx 22 2=+ p0yqxqp q 22 2= +( ,) 解解 联立两个抛物线方程， 解得pqy pq x±= =, 2 ， 于是两抛物线所围 的面积为 pqqpdyy pq qp qpdxdyS pa q yq p p y pq pq )( 3 2 )( 0 2 22 22 2 2 += + += 。 9. 求四张平面xyxy=001,1 6 所围成的柱体被平面和z = 0 23xyz+=截的的立体的体积。 解解 设，利用对称性，有 10, 10:yxD = DD ydxdyxdxdy， 于是 2 7 56)326( 1 0 1 0 = ydydxdxdyyxV D 。 10. 求柱面与三张平面1 22 =+ zy0, 0=zxyx所围的在第一卦限的 立体的体积。 5 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 解解 设是所围空间区域在Dxy平面的投影，则 D10,0),(=yyxyx， 于是 3 1 111 1 0 2 0 1 0 22 = dyyydxdyydxdyyV y D 。 11. 求旋转抛物面， 三个坐标平面及平面zxy=+ 22 xy+= 1所围有界区 域的体积。 解解 设是所围空间区域在Dxy平面的投影，则 D0, 0, 1),(+=yxyxyx， 于是 6 1 22)( 1 0 1 0 2222 =+= x DD dydxxdxdyxdxdyyxV。 12设在f x( )R上连续，为常数。证明 ba, (1) ； dxf y dyf y by dy a b a x a b =( )( )() (2) （） 。 dyef x dxax ef x dx a a x y a x a 000 = ()() ( )()( ) 0a 证证（1）交换积分次序，则得到 = b a b y b a x a b a dyybyfdxdyyfdyyfdx)()()(。 （2）交换积分次序，则得到 = a x a xa y xa a dydxxfedxxfedy 0 )( 0 )( 0 )()( = a xa dxxfexa 0 )( )()(。 13
