东北三省三校2019届高三第一次模拟考试数学试卷（文）附答案解析

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2019届高三第一次模拟考试数学试题（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（ ）A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】D【解析】复数= ，所以虚部为-2，故选D.2.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为可得，集合，所以故选B3.已知向量的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 所以故选C.4.设直线与圆相交于两点，且，则圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】圆的圆心坐标为,半径为，直线与圆相交于两点，且， 圆心到直线的距离，所以，解得，圆的半径，所以圆的面积，故选C.5.等差数列的前项和为，且，则（ ）A. 30B. 35C. 42D. 56【答案】B【解析】因为是等差数列，所以，所以公差 ， 根据求和公式 故选B6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，所以，且解得，故选A.7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】当输入x的值为4时，第一次不满足 ，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足 ，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足 ，故输出则-1故选D8.设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为指数函数是减函数，,所以<，即；因为幂函数是增函数，,所以>,即，所以，故选B.9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】对于答案A：，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，得出，再得出，故C正确；答案D: ，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C10.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值；从区间内随机抽取200个数，构成100个数对，其中满足不等式的数对共有11个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在平面坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外的区域， 区域面积为，由几何概型概率公式可得 解得，故选A.11.双曲线 的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】由题易知双曲线的右焦点，即 ， 点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知 所以周长为： 当点共线是，周长最小即解得 故离心率 故选D.12.若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，可得,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，求得，由可得在上递减，由可得在上递增，当时，；当时，所以，当，即时，的图象在轴右边有两个不同的交点，所以使函数在区间上有两个极值点，实数的取值范围是，故选D.二、填空题13.已知满足约束条件：，则的最大值是_【答案】3【解析】满足约束条件：，可行域如图： 解得 由题，当目标函数过点A时取最大值，即 故答案为314.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_【答案】乙【解析】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙15.四面体中，底面，则四面体的外接球的表面积为_【答案】【解析】由题意，可得BCCD，又因为底面，所以ABCD，即CD平面ABC，所以CDAC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径 故外接球的表面积 故答案为三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，若，且，求的面积.解：（1） ， 函数的值域为； （2），即 由余弦定理，即又， .17.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：每周累积户外暴露时间（单位：小时）不少于28小时近视人数21393721不近视人数3375253（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？近视不近视足够的户外暴露时间不足够的户外暴露时间附:P0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，中恰有一名学生不近视的概率为. （2）根据以上数据得到列联表：近视不近视足够的户外暴露时间4060不足够的户外暴露时间6040所以的观测值， 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.18.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，四面体的体积为.（1）求点到平面的距离；（2）若点是棱上一点，且，求的值.解：（1）（方法一）：由已知 平面，平面， 设点到平面的距离为, , 法二：由已知 平面， 平面平面平面 平面 平面 在平面ABCD内，过作，交延长线于，则平面的长就是点到平面的距离 在中，= = 点到平面的距离为 （2）在平面内，过作于，连结，又因为, 平面，平面 平面，平面 由 得： 19.已知分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于两点，且与椭圆相交于两点，当时，求的面积.解：（1）焦点为，则，解得，所以椭圆的标准方程为 （2）由已知，可设直线方程为，联立 得 易知则 =因为，所以 ，解得 联立，得， 设，则 20.已知函数（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.解：（1）当时， 令 则 列表如下：1单调递减极小值单调递增所以. （2）设，设， 由得， ，在单调递增，即在单调递增，当，即时，时，在单调递增,又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意. 当，即时，由（1）可知，所以，又故，当时，单调递减，又，故当时，在内，关于的方程有一个实数解1.又时，单调递增，且，令，,故在单调递增，又 在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，故在内，关于的方程有一个实数解.又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意.综上，.21.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.解：（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为： 所以曲线C的极坐标方程： （2）直线的方程为，的参数方程为为参数)， 然后将直线得参数方程带入曲线C的普通方程，化简可得： ， 所以故解得22.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.解：（1）因为函数 恒成立，解得 ；（2）由第一问可知，即 由柯西不等式可得：化简： 即当且紧当：时取等号，故最小值为 17