三对角矩阵的特征值及其应用
三对角矩阵的特征值及其应用 三对角矩阵的特征值及其应用 从宇宙创始时的仅有氢、氦元素一直到后来的超重元素,超新星爆发成了新 元素形成的宝库. 因此研究超新星爆发的过程是十分重要的,而 R 过程是超新星 爆发时的一个主要过程,研究超新星爆发时的 R 过程也就十分必要了(1). R 过 程即快中子俘获过程,与发生在低中子密度、 低温条件下的 S 过程相反,是发生在 高中子密度,高温条件下的中子俘获过程(2).在俘获过程中,当中子照射量较 大时,即使是不稳定的核,只要有较长的寿命,在发生衰变之前就可以吸收下一 个中子. 而且在变成寿命较短的核之前,不断添加中子,然后再衰变. 这样一来, 如果中子照射量很大,可以跨过作为终点的Bi 207 的衰变,形成直到铀及超铀元 素. 由于 R 过程的产生要求有大量的中子和迅速的反应,使得产生 R 过程的情况 受到很大限制,故多半应该考虑爆发时的异常情况,最可能的就是超新星爆发. 在过去十年中,人们对R过程的认识有了重要进展.文献3总结了针对R过程的 参变量研究、天体物理学模型和观测研究方面的最新研究结果. 强调核物理和天体 物理学之间的相互影响,并就 R 过程的进一步理论研究、 实验研究和观测研究提出了 建议.文中给出了 R 过程中的主方程为： +=) 1,() 1,() 1,() 1,(),( ' AZYAZAZYAZvnAZY mrnn (1-1) )2, 1()2, 1() 1, 1() 1, 1(), 1(), 1( 210 +AZYAZAZYAZAZYAZ ),(),(),(),(),(),() 3, 1() 3, 1( 3 AZYAZAZYAZAZYAZvnAZYAZ mrnn + 这里( , )Y Z A 表示在一个R过程中产生的含质子数Z和原子量A的原子核 （AZ,）的数量,'Y表示Y对时间t的导数, n n是中子的数量密度,),( AZvn rnn 是 热平均中子俘获率,),(AZ m 是光致分裂率,),( 0 AZ、),( 1 AZ、),( 2 AZ、 ),( 3 AZ分别表示释放0、1、2、3个中子的裂变,又 +=),( 0 AZ),( 1 AZ+),( 2 AZ),( 3 AZ 这里考虑( , )Y Z A分别与A和与Z无关的情况下方程（1-1）的解: 1) ( , )Y Z A与A无关,主方程（1-1）为: )()() 1() 1()( 'ZYZZYZZY= 1 容易求出其解为: 1 exp() n ii i Yvt = = ，其中 i v是相应于 i 的特征向量， 1,2,in=?； 2) ( , )Y Z A与Z无关,主方程(1-1)为: 01 '( )(1) (1)(1) (1)( ) ( )(1) (1) nn rm YAn vAY AAY AA Y AAY A=+ 2( 2) (2)AY A+)()()()()()()3() 3( 3 AYAAYAAYAvnAYA mrnn + 将Z和A的取值范围分别记为ni, 2 , 1?=和mj, 2 , 1?=,则主方程可表示为: 33221111+ += jjjjjjjjjj j yeydycybya dt dy ,mj, 2 , 1?=,0 0 =a (1-2) 此时线性算子 = nn nn ba cb dcba edcba edcb R 1 1 5432 54321 4321 00000 00000 000 00 000 ? ? ? ? ? ? 由于这是一个与通常的排队论中出现的完全不同的模型.根据线性代数的知 识,在一般情况下,要求出微分方程（1-2）的本征值的精确值是非常困难的,本文 的第一部分将研究一些特殊情况,其中,任意三阶三对角阵的特征值完全解决； 在 三条斜对角线上元素分别相等的情况下四阶、 五阶和n阶三对角阵的特征值也基 本解决,又对该情况下12+m阶与m阶三对角阵的特征值的关系给出了证明第 二部分对对称三对角阵的特征值的范围给出估计 正文 1三对角矩阵的特征值 1.1 三对角阵的定义 定义 1： 若矩阵 njiij aA = ,1 )(的非零项位于由主对角线及其之上的一条对角 线与其之下的一条对角线组成的带内,如下式 2 = nn nnn db adb adb adb ad A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 111 333 222 11 ? ? ? ? ? ? (2-1) 那么就称矩阵 njiij aA = ,1 )(为三对角阵(4),(即：(2-1)带状矩阵)此时有 0= ij a（1| ji） 1.2 三阶三对角阵的特征值 1.2.1 全部非零元素相等 0 0 aa Aaaa aa = 解：由 0 0 aa EAaaa aa = () ()()() () 22 222 20aaaaaaaa = 得： 1 a=, 2 2aa=+, 3 2aa= 1.2.2 对称的三对角阵 0 0 ab Abab ba = 解：由 0 0 ab EAbab ba = () ()()() () 22 222 20aabbaaab = 得： 1 a=, 2 2ab=+, 3 2ab= 1.2.3 三条对角线上的元素分别相等 3 0 0 ab Acab ca = 解：由 0 0 ab EAcab ca = () ()()() () 22 20aabcbcaaabc = 可知当0bc时： 1 a=, 2 2abc=+, 3 2abc= 当0bc,则 1 35 2 bcbc t + =, 2 35 2 bcbc t = 当() 2 11 atat=±,有 1 35 2 bcbc a + =+ , 2 35 2 bcbc a + = 当() 2 22 atat=±,有 3 35 2 bcbc a =+, 4 35 2 bcbc a = 综上可知,当4n =时, 1 35 2 bcbc a + =+, 2 35 2 bcbc a + =, 7 3 35 2 bcbc a =+, 4 35 2 bcbc a =证毕 至此,关于四阶三对角阵在三条对角线上元素分别相等时的情况下的特征值 全部解决 1.4 五阶三对角阵的特征值 定理 2：当 n A为5阶三对角阵时,特征值为： 当0bc时, 1 a=, 2 3abc=+, 3 3abc=, 4 abc=+, 5 abc=； 当0bc时, 1 a=, 2 3abc=+, 3 3abc=； 0bc时, 4 abc=+, 5 abc=； 0bc时, 1 a=, 2 3abc=+, 3 3abc=, 4 abc=+, 5 abc= 当0bc,则,分别为两个实根n为奇数时有= ,此时 易得存在一个a=； (2) 若() 2 40abcbc时 如果0Min，则超新星爆发处于膨胀状态； 2）当0a，则超新星爆发处于膨胀状态； 如果0=a，则超新星爆发处于周期性变化状态； 如果0a，则超新星爆发处于衰减状态； 11 参考文献： 1 李宗伟, 肖兴华. 天体物理学M. 北京: 高等教育出版社, 2000. 2 林忠四郎, 佐藤文降, 蓬茨灵运. 恒星的演化、诞生与衰亡M. 北京: 科学出版社, 1983. 3 Yong-Zhong Qian. The Origin of the Heavy Element : Recent Process in the Understanding of the r-processJ. Prog. Part. Nucl. Phys. 50 (2003) 153-199. 4 樊恽、钱吉林、岑嘉评代数学词典M. 武汉：华中师范大学出版社. 1994 5 钟玉泉. 复变函数论M. 北京: 高等教育出版社, 2003. 6 J威尔金森. 代数特征值问题M. 北京: 科学出版社, 2001. 7 L. E. Garey and R. E. Shaw. A Parallel Method for Linear Equations with Tridiagonal Toeplitz Coefficient MatricesJ.Computers and Mathematics with Applications. 42 (2001) , 1-11. 8 阮炯，蔡志杰，神经动力学模型方法和应用M，科学出版社，2002 致谢致谢 本文在汪文珑老师的悉心指导下完成 在此谨向汪文珑老师致以诚挚的感谢 和崇高的敬意
