理论力学全套解疑18

第十八章第十八章 拉格朗日方程拉格朗日方程 题 18-1 达朗伯原理、虚位移原理和动力学普遍方程三者之间的关系是怎 样的？试简要地加以阐明。 解 答 达朗伯原理将质点系动力学问题在形式上化为静力学的平衡问题， 虚位移原理则给出了质点系平衡的必要充分条件。因此，通过达朗伯原理就可将 虚位移原理推广应用于解决质点系的动力学问题，从而得到了动力学普遍方程。 所以，动力学普遍方程是达朗伯原理与虚位移原理相结合的产物。 题 18-2 试举例说明如何应用动力学普遍方程求解非自由质点系的动力学 问题。 解 答 应用动力学普遍方程求解具有理想约束的非自由质点系动力学的 步骤，与应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤基本相同。所不同者，由于 动力学普遍方程处理的是动力学问题，因此，必须首先分析质点系的运动，在质 点系上施加相应的惯性力，然后，再应用虚位移原理。 例如，某离心调速器绕铅直轴 y 转动（题 18-2 图 1） ，飞球 A、B 均重 P，套 筒 C 重 Q，可沿 y 轴上下滑动，各杆吐长均为 l，杆重不计。当调速器以匀角速度转动时， AOC = 保持不变。求。 以调速器整体系统为研究对象，当调速器 以匀角速度绕y轴转动时，飞球A、B在水平面 内 作 匀 速 圆 周 运 动 ？ 其 向 心 加 速 度 ， 而套筒C的加速度为零。 在飞球 A、 B上分别施加惯性力G sin 2l an= A和GB， 方向与an相反， 其大小sin 2l g P a g P GG nBA =，在图示瞬 时，给系统以虚位移，使杆绕O点转过一微小 角度（题 18-2 图 1） 。下面分别采用动力学普遍方程的解析表达式和几何表达 式求解。 （1）解析表达式。 193 0)()( 1 =+ = iiyiyiixix n i yGFxGF 即 0 )()( )()( =+ + + CyCx BByByBBxBx AAyAyAAxAx yQxQ yGPxGP yGPxGP 其中 0sin; 0sin sin2, 0 sin,cos sin,cos cos20 ;cossin;cossin ; 0;0;0 22 = = = = = = = ByBxAyAx CC BB AA CC BBAA yxByBxAyAx Gl g P GGl g P G lyx lylx lylx lyx lylxlylx QQQPPPPPP 、 、 、 、 将它们代入上式 0)sin/2( )sin()cos(sin/ )sin()cos(sin/ 2 2 =+ + + + Q lPl g P lPl g P 整理后，得 0)(cossin2 2 = + QP g Pl l 由于系统具有一个自由度，是独立的虚位移，故得 0)(cossin 2 = +QP g Pl 因不可能为零，因此有 0)(cos 2 =+QP g Pl 194 即 g Pl QP 2 cos + = 可见，愈大，cos愈小，角愈大，套筒将上升；反之，套筒则下降。套筒的 升降可带动调节装置以进行调速。 （2）几何表达式。 0)()( 11 =+=+ = iiii n i iii n i rGrFrGF 即 0=+ CBBBBAAAA QrrGrPrGrP 0180cos| cos|)90cos(| cos|)90cos(| =+ + + ? ? ? C BBBB AAAA Qr rGrP rGrP 由于 PA = PB = P 因此 0|cossin2sin2 2 =+ C Qll g P Plr 因为不能破坏约束，故有 cos|)290cos(| CA rr= ? 即 sin2|l C =r 代入上式，整理得 0)(cossin2 2 = + QP g Pl l 于是得到与上面相同的结果 g Pl QP 2 cos + = 我们看到，在应用动力学普遍方程求解系统动力学问题时，既可以应用解析 法建立虚功方程，亦可以采用几何方法建立虚功方程。 下面再看一个应用几何法列写动力学普遍方程的例题： 用几何形式的动力学 195 普遍方程重解题14-14图2中的例题。 取整体系统为研究对象， 当重物A以加速度 a 直线下降时， 通过绳子的带动， 轮O作定轴转动，轮C作平面运动。 在重物A的质心上施加与加速度a相反的惯性力aR g P A G =；在定滑轮O上施 加与角加速度O的转向相反的惯性力主矩，在轮C的质心上施加与a OO O G JM= C 相反的惯性力主矢 C C G g P aR=和与其角加速度的转向相反的惯性力主矩 （题18-2图2） 。 C C G JM= 题 18-2 图 2 在图示瞬时，给系统以虚位移，使重物A获得向下的虚位移)|(|x AA =rr， 相应地，轮O获得角虚位移 = r x OO ，轮C获得角虚位移（绕速度瞬心P转 过 一 微 小 角 度d， 相 应 地 ， 质 心C发 生 一 水 平 向 右 的 虚 位 移xC） = r x R xC 4 。 写出几何形式的动力学普遍方程 0)()( 1 =+ C GC C GO O G A G MxRFMxRP 其中 a g P a g P Ra g rP r a g rP JMa g P R C C GOO O G A G 222 2 =、 222 1 2 kx kxFa g rP R a g PR JM C C O C G =、 196 将它们代入上式，整理后，得 0 8 15 4 = xa g Pkx P 由于x是独立的虚位移，因此有 0 8 15 4 =a g Pkx P 于是求得重物A下降的加速度 g P kxP a 15 )4(2 = 这样，应用动力学普遍方程再一次得到了相同的答案。 题 18-3 求解非完整系的动力学问题时，能应用拉格朗日方程（第二类） 吗？ 解 答 求解非完整系的动力学问题时，不能应用拉格朗日方程（第二类） ， 第二类拉格朗日方程只适用于完整系。 我们知道， 在引进了广义坐标qj、 并将动力学普遍方程广义坐标化的过程中， 最后将动力学普遍方程 0)( 1 = = iiii n i mraF 化为 0)( * 1 =+ = jjj k j qQQ 的形式，其中 = = = jj j j i i n i j q T q T t Q q Q ?d d * 1 r F （j = 1, 2, , k） 分别称为对应于广义坐标qj的广义主动力（简称广义力）和广义惯性力（表达式 中的 2 1 2 1 ii n i vmT = =是系统的动能） 。 对于受到非完整约束的质点系来说，由于在广义坐标的变分（广义虚位移） 197 之间存在着某些联系方程，因此，尽管k个广义坐标q1，q2，qk都是相互独立 的，但是k个广义虚位移q1，q2，qk并不都是相互独立的。因此，不能从 0)( * 1 =+ = jjj k j qQQ 推出 （j = 1, 2, , k） 0 * =+ jj QQ 因而得不到第二类拉格朗日方程 j jj Q q T q T t = ?d d 只有当质点系受完整约束时（qj之间不存在联系方程，每一个qj都是独立 的） ，才能推导出第二类拉格朗日方程。因此，只有求解完整系的动力学问题时， 才能应用第二类拉氏方程。求解非完整系的动力学问题时，是不能应用第二类拉 格朗日方程的。 题 18-4 拉格朗日方程一共有几类？常用的拉格朗日方程是指哪一类拉格 朗日方程？ 解 答 从动力学普遍方程 0)( 1 = = iiii n i mraF 沿着不同的途径，可以推导出两类不同的拉格朗日方程。一种是“第一类拉格朗 日方程” ，这是一组用直角坐标表示的、并带有不定乘子的、既适用于完整系也 适用于非完整系、既能求系统的运动又能求系统所受到的约束反力的微分方程。 这类拉格朗日方程虽然具有上述许多特点， 但因方程数目太多， 积分起来很困难， 因此采用较少。 另一种拉格朗日方程就是前面提到的“第二类拉格朗日方程” ，这是一组用 广义坐标表示的， 只适用于完整系的二阶常微分方程， 通常称为拉格朗日方程 （简 称拉氏方程） 。由于拉氏方程的数目等于系统的自由度数，求解系统动力学问题 简捷方便，因此应用很广。 题 18-5 应用拉氏方程求解质点系动力学问题的步骤是怎样的？试举例说 明。 198 解 答 拉氏方程虽然不能直接求出质点系所受的约束反力， 但是用来寻找 主动力和加速度之间的关系，即建立运动微分方程却是比较简便的。下面，通过 具体实例阐明应用拉氏方程求解质点系动力学问题的一般步骤。 试应用拉氏方程重解题14-14图2中的例题。 （1）用基本形式的拉氏方程 j jj Q q T q T t = ?d d （j = 1, 2, , k） 求解。 选取整体系统为研究对象。容易看出，该系统具有一个自由度，取重物A 下降的距离x为广义坐标，即q = x。 计算系统的动能T，并将其表示为广义坐标和广义速度的函数（题18-5 图1） 2 2 2 22 2 2 2222 16 15 / 222 1 2222 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 x g P R x g PRx g P r x g rP x g P Jv g P Jv g P T CCOO ? ? ? = + + += += 题 18-5 图 1 计算对应于广义坐标x的广义主动力Qx。 为此，给重物A以铅直向下的虚位移x，相应地，滚轮中心C获得大小等于 x 之半的虚位移xC，于是 199 4 22kx P x xkx xP x w Q x x = = 代入基本形式的拉氏方程 x Q x T x T t = ?d d 中，得 4 0 8 15 d dkx Px g P t = ? 于是得 g P kxP xa 15 )4(2 =? ? 这样，应用拉氏方程再一次求得了相同的结果。 （2）用保守系统的拉氏方程 0 d d = jj q L q L t? （j = 1, 2, , k） 求解。 由于作用在系统上的重力及弹簧力均为有势力，摩擦力虽非有势力，但不作 功（因C轮作纯滚动） 。因此，可以应用保守系统的拉氏方程求解。 为此，除了要计算系统的动能T以外，还要计算系统的势能V。由题15-8 中的题15-8图2可知，系统的势能 2 2 8 1 )2( 22 1 )( kxP