理论力学全套解疑12

第十二章 刚体的定点运动第十二章 刚体的定点运动 题 12-1 怎样确定瞬时角加速度的方向，怎样理解作定点运动的刚体在一 般情况下角速度矢 与角加速度矢并不同轴？ 解 答 由定义 t d d =，与点的速度公式 t d dr v =对比（题 12-1 图 a） ，可见 应沿 矢端曲线的切线方向。在一段时间内连续画出不同瞬时的瞬时角速度矢 ，这些 组成一个锥面，矢端 E 就描绘出一条轨迹如图(b)所示。所以 t E d d u=， 矢径也可画在定点 O 上。一般情况下，一个矢量的矢端曲线的切 线与该矢量是不共线的，因此， 与 一般也不同轴。 题 12-1 图 题 12-2 请图示说明vM、aN、aR的方向。 解 答 vM、aN、aR的方向已分别表示在题 12-2 图中。其中vM垂直于OMA 平面也即点M运动轨迹的切向。aN指向瞬轴OA，故名向轴加速度，而不是向心加 速度。aR垂直于OMB平面着，aR并不沿M点运动轨迹的切向，所以不叫切向加速 度而名转动加速度。 86 题 12-2 图 题 12-3 图 题 12-3 刚体绕相交轴转动的合成与刚体的定点运动有什么关系？ 解 答 刚体绕相交轴转动的合成运动是一种特殊的刚体的定点运动， 这个 定点就是相交轴的交点，下面来说明这一关系。 设刚体绕轴OO2有相对角速度 r，轴OO2绕轴OO1有牵连角速度 e，刚体的 绝对角速度 a = e + r， （题 12-3 图） 。为证明上述角速度关系式，取转动平面 O1OO2作为动参考系，定参考系固连于地面，不难证明，这时刚体上存在一条通 过点O的轴线， 其上各点在这瞬时的速度都等于零。 显然， 以角速度矢量 r和 e为 邻边所作出的平行四边形对角线上所有的点其速度都等于零。 我们可以取对角线 上点C为代表，由点C向OO1及OO2作垂线CE和CD，则点C的相对速度和牵连速 度分别是 CEv CDv C C = = ee rr 以上两个等式右边的数值都正好等于平行四边形OACB的面积，所以， 这就证明了v erCC vv= Ca = 0。于是OC就是刚体的瞬轴。 再在刚体上任取一点M，其矢径为r，绝对速度va。可以表示为 va = e×r 牵连速度和相对速度可分别表示为 ve = e×r vr = r×r 由速度合成定理 va = ve×vr 因此 a×r = e×r + r×r = ( e + r)×r 所以 a = e× r 这就说明了刚体绕两相交轴转动时，绝对运动是绕通过这两轴交点的瞬轴的转 动，也就是绕通过定点 O 的瞬轴的转动（定点运动） 。其绝对角速度等于牵连角 87 速度与相对角速度的矢量和。这一结果同时说明了角速度不仅可以用矢量来表 示，而且服从矢量相加的运算规则。 题 12-4 试找出下列各题中刚体的瞬时转动轴并求出角速度矢 ， 指出刚体 作定点运动的定点 O 的位置。 （1） 母线长为l的圆锥， 沿固定水平面滚而不滑， 顶点O不动， 底面中心O1的 速度为u（题 12-4 图 1a） 。 题 12-4 图 1 解 答 因圆锥体滚而不滑，所以OA线上各点的速度为零，于是瞬时转动 轴即沿图中y轴方向。从O1点作垂线O1C与y轴垂直，则O1C就是O1点的瞬时转动 半径，即 =COu 1 而 sin 22 sin 2 cos 2 sin 11 l lOOCO= 所以 = sin 2 l u 常数 、 e与 r的方向如图(b)所示。 e与 r的交点O即为定点运动的定点位置。 （2）圆盘AB绕通过中心D垂直于盘面之轴OC转动，转速为n1 = 6rpm，而轴 OC绕OE轴转动，转速为n2 = 10rpm（题 12-4 图 2a） ，若 = 20°。 解 答 圆盘绕OC轴的转动角速度为相对角速度 r，方向沿OC（题 12-4 图 2b）其大小为 2 . 0 60 62 60 2 1 r = × = n (rad/s) 88 OC轴绕OE轴转动角速度为牵连角速度e，方向沿OE，其大小为 3 1 60 102 60 2 2 e = × = n (rad/s) 由角速度合成定理 = e + r 作角速度矢量图可求得绝对角速度，其大小为 )rad/s(65 . 1 cos202 . 0 3 2)2 . 0( 3 1 cos2 2 2 re 2 r 2 e = ×××+ = += ? =)20180sin(sin e? 0.217 = 12°12 定点位置为 O 点，瞬时转动轴沿题 12-4 图 2(b)中的方向。 题 12-4 图 2 （3）圆锥滚子在水平圆锥形支座上滚动（题 12-4 图 3a） ，滚子底面半径R = 1002 (mm)，顶角 2 = 90°，滚子中心的速度为vA = 200 (mm/s)。 解 答 滚子绕OA轴转动角速度为相对角速度r，OA轨绕铅垂轴转动角速 度为牵连角速度e，滚子上C点的速度为零，所以瞬轴沿OC，定点位置为O，作 角速度矢量图（图b）可得 2 2100 200 e = OA vA (rad/s) 89 )rad/s(22 )rad/s(2 e r = = C 题 12-4 图 3 题 12-4 图 4 （4） 在题 12-4 图 4 所示差动机构中， 曲柄上装有活动的半径为r = 20(mm) 的行星锥齿轮，曲柄可绕固定轴OD转动，行星锥齿轮与锥齿轮、啮合， 此两齿轮角速度为1=5(rad/s)，2=3(rad/s)， 转动方向相同， 半径均为R=70(mm)， 找出轮的瞬时转动轴并求3。 解 答 轮绕曲柄的转动角速度为相对角速度r，方向如图b所示，大 小未知。 曲柄绕OD轴转动角速度为牵连角速度e，方向如图b。 绝对角速度 a通过 e与 r的交点O，但方向大小待求。 由轮、轮的角速度可求出齿轮啮合点 a、b 两点的速度 )mm/s(210370 )mm/s(350570 2 1 =×= =×= Rv Rv b a 由此可求出绝对角速度a。设a与DO夹角为，则 90 )sincos( )sincoscos(sin )sin( 11 11 rR Oa Oahv a a aaa += += += (1) )sincos( )sincoscos(sin )sin( 22 22 rR Ob Obhv a a aab = += = (2) (1)式与(2)式相加，得 cos2Rvv aba =+ (3) (1)式与(2)式相减，得 sin2rvv aba = (4) 由式(3)并参看图 b 可得 4 702 210350 2 cos ae4 = × + = + = R vv ba (rad/s) 由式(4)并参看图 b 可得 5 . 3 202 210350 2 sin ar = × = = r vv ba (rad/s) 所以 32. 55 . 34 222 r 2 ea3 =+=+=(rad/s) 方向如图所示，此即为轮的瞬时转动轴位置。 题 12-5 上题讨论刚体绕相交轴转动的合成时得到了角速度之间的关系式 a = e + r，那么角加速度之间是否也存在着相似的关系式 a = e + r 呢？ 解 答 不，一般说来 a e + r。因为由相对导数与绝对导数的关系，有 rere re r e rea a d d d d d d d d ×+= ×+= += t ttt 而 e× r一般不等于零。 题 12-6 在e = 常数、|r | = 常数、 = 常数时，a =？ 解 答 a = e× r。由题 12-6 图可见， a的方向垂直于 e与 r所组成的平 91 面， e矢端A的速度u的大小和方向就是a的大小和方向。 题 12-7 请举一定点运动的例题，并详述其求解过程。 解 答 举例如下：顶角 = 60°的圆锥轮沿圆锥轮的锥面滚动而不滑 动，圆锥轮的转动规律 = t2/4（t以s计，以rad计） 。轮的轮心A相对于转动 锥面的相对速度大小vr = 20t(mm/s)，方向垂直于图面向外。又OA = 80(mm)， 试求当t = 1(s)时轮上B点的绝对加速度的大小（题 12-7 图a） 。 题 12-6 图 题 12-7 图 解法一 （1）运动分析。 动点：B 点。 动系：与轮固连。 相对运动：B 点的空间曲线运动。 绝对运动：B 点的空间曲线运动。 牵连运动：圆锥轮的定轴转动。 轮对轮的运动是定点运动，定点为 O，由于轮作定轴转动，所以 OC 为相对瞬轴（图 b） 。 因为轮的运动规律为 = t2/4，所以牵连角速度与牵连角加速度分别为 )rad/s( 2 1 )rad/s( 2 1 )( 1),rad/s( 2d d 2 ee = = 时， st t t （2）求 B 点的绝对加速度。根据加速度合成定理 。 N BB n BBreea aaaa+= kr aa+ R B 92 题 12-7 图 取坐标系 Oxyz，使 Oy 轴与轮的对称轴 OA 始终重合（不固连） ，即当轮 运动时坐标系 Oxyz 将绕 z 轴转动，坐标系的单位矢量为 i、j、k。于是： jjj20 4 1 80 2 ee =BDa n B 方向如图(b)所示 ijj40 2 1 80 ee = BDaB 方向如图(b)所示 （里瓦斯公式中的向轴加速度）= N Be a r× Br 其中 r是轮相对于轮的角速度 t t h v A A 2 1 40 20 r r = (rad/s) 设 e 为相对瞬轴 OC 的单位矢量。则 eee 2 1 | 2 1 1rr = =t t (rad/s) 而 iivv40|402 1rr = =tAB t(mm/s) 所以 93 kj ikj ieva 31010 40)30sin30(cos 2 1 40 2 1 rr = ×= ×=×= ? B N Br ? 方向如图(b)所示，指向瞬轴 (里瓦斯公式中的转动加速度) = R Be a r×rOB 其中 r是轮相对于轮的角加速度为 kj kjr e ieie ee e ee 3 80 80 30sin 60sin 80 30cos 60sin 80 16 3 2 1 2 3 80 20 2 1 2 1 |60sin 22 1 ) 1()( 22 1 d d d d )( d d d d 1 r rr r += += += +=+= ×+= += = ? ? ? ? ? OB t Ar r OA vt t tt tt 注 1 所以 )5()35(120sin 3 40 )30sin40( 3 80 16 3 80 16 3 3 80 2 1 80 2 1 3 80 80 16 3 2 1 jkii kijikeje kjiera + += ×+ ×+ ×+ ×= +