湖南省首届大学生理论力学竞赛试题答案

湖南省首届大学生理论力学竞赛试题答案计算题1. 图8示均质箱体的宽度，高，重。放在倾角的斜面上。箱体与斜面之间的摩擦系数。今在箱体的点系一软绳，方向如图示，绳的另一端通过滑轮挂一重物；已知，绳重、滑轮重及绳与滑轮之间的摩镶均不计。试问多重，才能保证箱体处于平衡状态。(15分)解：本题中箱体A在力系作用下应有四种可能的运动趋势：向下滑动，向上滑动，向下绕左下角倾翻和向上绕右下角倾翻。下面分别计算处于四种临界运动时，对应的重物E的重量。(1)向下滑动的临界状态，摩擦力F应向上，其值，取箱体为研究对象，受力图如(b)，列平衡方程解得即当时，箱体处于向下滑动的临界状态。(2)处于向上滑动的临界状态时，摩擦力F方向应沿斜面向下，箱体受力图与图(b)相仿，仅F方向应向下，在(1)、(2)式中摩擦力投影相差一个负号，故(3)处于向下倾翻的临界状态时，斜面对箱体的约束反力将集中于左下角点，箱体的受力图如(c)。列平衡方程求解：负号表明T应变为推力才能使箱体向下翻倒。由于软绳只能传递拉力，因此箱体没有向下倾翻的可能性。(4)处于向上倾翻的临界状态时，斜面对箱体的约束反力将集中于右下角B点。将图c中的N、F挪至B点，即为此状态时的受力图(不另画)。列平衡方程求解综上所述，、时，箱体分别处于下滑、上滑、上翻的临界状态。因而可得出结论，当时，箱体A处于平衡状态。当箱体A在上滑或下滑的临界状态时，法向反力N必在和之间；当箱体在上翻的临界状态时，。(b)(c)2. 图9示机构在同一铅垂面内运动，在某瞬时达到图示位置，杆水平，、三点在同一铅垂线上，杆的段水平，、处均为铰链连接，杆通过套筒与三角形相连。轮的半径为，。轮沿地面只滚不滑，轮心速度为常数。求此瞬时杆的速度和加速度。（14分）解：机构中杆作定铀转动，三角形作平面运动，轮O作平面运动，杆平动。、点处无相对运动，点处存在相对运动，因此在A点处应当用点的合成运动方法解题。先求出三角形上点的速度和加速度。轮的速度瞬心在处，则点的速度。三角形上点的速度沿铅垂方向，、两点的速度垂线交点与点重合，因此点是此瞬时三角形的速度瞬心。点的速度方向应当与线垂直，由于，所以轮的中心点的轨迹为直线，加速度为零。轮的角速度以点为基点求得点的加速度得。由于，所以点只能有铅垂方向的切向速度，可以直接判断出，即。再以点为基点求点的加速度将上式向、轴投影最后用运动合成的方法分析点处的速度和加速度。动点：三角形上的点。动系：杆。静系：机架。绝对运动：平面曲线运动。相对运动：直线运动。牵连运动：平动。速度分析：速度合成定理矢量等式向水平轴投影，得。加速度分析：加速度合成定理矢量等式向水平轴投影，得负号表示的实际指向与轴正向相反。3. 图10示半径均为的两个圆柱l、2，用不可伸长的绳子相连，绳子一端与圆柱1的中心连接，另一端多圈缠绕在圆柱2上(绳与滑轮的重量不计)。1为均质实心圆柱，其质量为，2为均质空心薄壁圆柱，质量为。设圆拄2铅直下降圆柱l沿水平面只滚不滑，且滚动摩擦不计。试求，(a) 两个圆柱质心的加速度。(b) 圆柱1沿水平面只滚不滑时，其与支承面之间的滑动摩擦系数应为多少?（15分）解(a) 去圆柱2为研究对象，受力如图示。由运动学可知即又由平面运动微分方程，有 (1) (2)将及代入（2），得 (3)再取圆柱1为研究对象，受力如图示。对瞬心点写出动量矩定理因圆柱1只滚不滑，故有，且，于是上式成为 (4)将(4)代入(3)，得解得将上式和(4)一起代入(1)，得解得由（4）求得将代入(1)，得。(b)求圆柱1沿水平面只滚不滑时的滑动摩擦系数，以圆柱1为研究对象，根据质心运动定理，有 (5) (6)因，由(5)得将及之值代入上式，求得由（6）得欲使圆柱1只滚不滑，必须是，所以，解得。