工程力学第八章圆轴的扭转

实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆；机械中的传动轴等。,传动轴,8.1 扭转的概念与实例,研究对象： 圆截面直杆,受力特点： 作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程: SMx=0,变形特征：相对扭转角 fAB,本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。,8.2 扭矩与扭矩图,扭矩：MT是横截面上的内力偶矩。 内力由截面法求得。,由平衡方程：,扭矩的符号规定：,按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。,上述截面的内力（扭矩）为正值,C,解：由于AB、BC两段的扭矩不同，所以要分段计算,（1）计算AB段的扭矩,（2）计算BC段的扭矩,（3）作扭矩图,例8-2图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图,解：1）计算外力矩,2）计算AB段内力,4）扭矩图,例8-3 一传动轴如图，转速 ；主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。,解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩,2. 计算各段的扭矩,BC段内：,AD段内：,注意这个扭矩是假定为负的,3. 作扭矩图,由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56 kN·m。,思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？,5kN,2kN,8kN,简捷画法：,在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。,FN图（轴力）,MT图,讨论：试作扭矩图,MT图,求反力偶：,MT图,8.3 圆轴扭转时的应力与变形,8.3.1. 横截面上的应力,表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(问题的几何方面),横截面上应变的变化规律,横截面上应力变化规律,应力-应变关系,(问题的物理方面),内力与应力的关系,横截面上应力的计算公式,(问题的静力学方面),圆轴扭转实验现象：,横向：圆周线仍相互平行，且形状和大小不变，间距不变，但相邻圆周发生相对转动,纵向：各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与圆周线所组成的矩形变成了平行四边形,平截面假定：圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动）,推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。,取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。,1. 变形几何条件,g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为 CC= gdx=rdf , 故有：,df /dx ,称为单位扭转角。,对半径为r的其它各处，可作类似的分析。,1. 变形几何条件,对半径为r的其它各处，作类似的分析。,同样有： CC= gdx=rdf,2. 物理关系 材料的应力-应变关系,材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。,讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布,圆轴几何及MT给定，df/dx为常数；G是材料常数。,-(3),最大剪应力在圆轴表面处。扭转,截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比；,剪应变在ABCD面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。,3. 力的平衡关系,应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。,取微面积如图，有：,-(3),利用(3)式，得到：,3. 力的平衡关系,令：,Ir 称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。,tmax在圆轴表面处，且,WT =IP / r，称为抗扭截面模量。,求IP，WT ?,8.3.2 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量,讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积 dA=2prdr, 则有：,a=d/D,空心圆轴,研究思路：,结论：,1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。,2） 截面任一处 截面外圆周处（表面） tP=MTr/IP tmax=MT/WT,讨论：,2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?,1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 变形是否相同？,相同,相同,不同,8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态,研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。,A,A的平衡？,SMC(F)=tdxdy-tdydx=0 t=t,剪应力互等定理：,物体内任一点处二相互垂直的截面上，剪应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离二截面的交线。,纯剪应力状态等价于转过45后微元的二向等值拉压应力状态。,纯剪应力状态: 微元各面只有剪应力作用。,45斜截面上的应力：,tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0,还有：s-45=t； t-45=0,tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0,解得： s45=-t；t45=0。,现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。,斜截面上的应力,分离体上作用力的平衡方程为,利用t =t '，经整理得,由此可知：,(1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的绝对值最大；,(2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；,，如图所示。,低碳钢扭转试验开始,低碳钢扭转试验结束,低碳钢扭转破坏断口,铸铁扭转破坏试验过程,铸铁扭转破坏断口,思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？,例题8-4 实心圆截面轴(图a)和空心圆截面轴(图b) （ ）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。,解：,由t1,max=t2,max，并将a 0.8代入得,两轴的重量比即为其横截面面积之比：,空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。,. 强度条件,此处t为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即,铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。,例8-5 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kN·m，MB =36 kN·m，MC =14 kN·m，材料的许用切应力t =80 MPa。试校核该轴的强度。,BC段内,AB段内,解：1. 绘扭矩图,2. 求每段轴的横截面上的最大切应力,3. 校核强度,需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。,t2,max t1,max，但有t2,maxt = 80MPa，故该轴满足强度条件。,. 扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量。,8.3.4 圆轴的扭转变形,当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有,由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为,解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩：,例8-6 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 N·m，M2 = 955 N·m，M3 = 637 N·m，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jCB.,3. 横截面C相对于B的扭转角：,2. 各段轴的两个端面间的相对扭转角：,例8-7 空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m Mc=100N.m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。,解: 1) 画扭矩图。,2) 计算各段应力:,故 tmax=86.7Mpa,. 刚度条件,式中的许可单位长度扭转角j'的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：,对于精密机器的轴q0.150.30 (°)/m；,对于一般的传动轴q2 (°)/m。,解: 1. 按强度条件求所需外直径D,例8-8 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5 。已知材料的许用切应力t = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax = 9.56 kN·m，轴的许可单位长度扭转角q=0.3 (°)/m。试选择轴的直径。,2. 按刚度条件求所需外直径D,3. 空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知,§8-5 扭转静不定问题,例8-9 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。,解: 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程,故为一次静不定问题。,2. B为固定端,因此,4. 杆的AC段横截面上的扭矩为,从而有,例8-10 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。,(a),解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。,2. 位移相容条件为,3. 利用物理关系得补充方程为,4. 联立求解补充方程和平衡方程得：,5. 铜杆横截面上任意点的切应力为,钢管横截面上任意点的切应力为,上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r = a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。,圆轴扭转,剪应力 t 在横截面上线性分布。,杆的拉压,抗扭刚度,抗拉刚度,圆轴扭转,杆的拉压,强度设计,刚度设计,作业: 第一次：8-1(b)(c)，8-2 第二次： 8.3 8.8 8.10,