初一数学——三角形提高附辅助线的添加

第五讲 全等三角形的有关证明（提高篇）关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础板块一、截长补短图2-1【例1】 如图2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.【例2】 已知，如图3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.图3-1图4-1【例3】 已知：如图4-1，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.【例4】 (年北京中考题)已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明【例5】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？板块二、倍长中线中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法下面举例说明例1 如图1，在ABC中，AD为BC边上的中线求证：AB+AC2AD例2 如图2，在ABC中，ABAC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G求证：BF=CG例3如图4，CB，CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且AC=AB求证：CE=2CD板块三 全等与角度【例1】如图，在中，是的平分线，且，求的度数.【例2】在四边形中，已知，求的度数.第六讲 辅助线的添加归纳.连结目的:构造全等三角形或等腰三角形适用情况:图中已经存在两个点X和Y例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.1.连结AC，构造全等三角形;2.连结BD，构造两个等腰三角形例2:如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,求证:点M是CD的中点.连结AC、AD构造全等三角形例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD的中点，求证：AMBAND连结AD构造全等三角形例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.连结BD构造全等三角形.角平分线上点向两边作垂线段目的:构造直角三角形,得到距离相等适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN例1:如图,ABC中, C=90o,BC=10,BD=6,AD平分BAC,求点D到AB的距离.过点D作DEAB.构造了:全等的直角三角形且距离相等例2:如图,ABC中, C=90o,AC=BC,AD平分BAC,求证:AB=AC+DC.过点D作DEAB.构造了:全等的直角三角形且距离相等思考:若AB=15cm,则BED的周长是多少?例3:如图,梯形中, A= D =90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.过点E作EFBC.构造了:全等的直角三角形且距离相等例4:如图,OC 平分AOB, DOE +DPE =180o,求证: PD=PE.过点P作PFOA,PG OB.构造了:全等的直角三角形且距离相等.垂直平分线上点向两端连线段目的:构造直角三角形,得到斜边相等适用情况:图中已经存在一条线段MN和垂直平分线上一个点X 例1:已知CD是AB的垂直平分线，D、E、F三点共线。求证.中线延长一倍目的:构造直角三角形,得到斜边相等适用情况:图中已经存在一条线段MN和垂直平分线上一个点X 例1:AD是ABC的中线，求证：延长AD到点E，使DE=AE，连结CE.“周长问题”的转化借助“角平分线性质”例1:如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分CAB,DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少?.“周长问题”的转化借助“垂直平分线性质”例2:如图,ABC中, D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长.例3:如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称.,若A1 A2 =6cm,求ABC的周长.例4:如图, ABC中，MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm, ABM周长为13cm，求ABC的周长.“周长问题”的转化借助“等腰三角形性质”例5:如图, ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC.若BC=6cm, AMN周长为13cm，求ABC的周长.添辅助线有两类情况： 一、按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们 相交后证交角为90°， 证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍， 证角的倍半关系也可类似添辅助线 二、按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。 举例如下： 1. 平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 2. 等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。 出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 3. 等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 4. 直角三角形斜边上中线基本图形：出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线；出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 5. 全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等 如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。 当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。