几何最值问题总结

优立方数学：http:/www.ulifun.com 专注数学思维训练！专注数学思维训练！第 1 / 5页 几何最值问题总结几何最值问题总结 基本思想：基本思想： 1、利用轴对称转化为：两点之间的距离两点之间，线段最短（将两点之间的折线段转化为两点之间 的直线段）； 2、利用三角形两边之和大于第三边。两边之差小于第三边； 3、利用一点到直线的距离：垂线段最短将点到直线的折线段转化为点到直线的垂线段； 4、利用特殊角度（30°，45°，60°）将成倍数的线段转化为首尾相连的折线段，再转化为两点之间的 直线段最短。 5、找临界的特殊情况，确定最大和最小值。 基本类型：基本类型： 一、直接利用公理一、直接利用公理/定理求最值定理求最值 1、利用两点之间线段最短、利用两点之间线段最短 问题问题 1：如图，有：如图，有 A、B、C、D 四个村庄，现准备打一口井，使得水井到四个村庄的距离之和最短，请确四个村庄，现准备打一口井，使得水井到四个村庄的距离之和最短，请确 定水井的位置。定水井的位置。 问题解析：如图，连接 AD 和 CB，AD 和 CB 的交点就是所求的水井的位置所在点。 此时最短的距离就是：AD+CB 的长度。 策略分析：如果不在 E 点，比如说在 T 点，那么根据三角形两边之和大于第三边得到： AT+DTAD，且 CT+BTCB，于是 AT+DT+CT+BTAD+CB。所以水井所在位置只能 在 AD 与 CB 的交点处，才能使其到四个村庄的距离之和最小。 问题问题 2：边长为：边长为 a 的正三角形的正三角形 ABC 在第一象限，两顶点在第一象限，两顶点 A、B 分别在分别在 x 轴上和轴上和 y 轴上移动，点轴上移动，点 C 在第一象在第一象 限，那么点限，那么点 C 到原点到原点 O 的最大距离是的最大距离是_ 问题解析：点 C 到原点 O 的距离，直接连接 OC 肯定不能保证其是最大值。 但是注意：直角AOB 的斜边 AB 是等边三角形 ABC 的一边，等于 a，而直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就是 a/2，并且等边ABC 边上的中线 也是定值，所以设 AB 边上的中点为 D，连接 OD，CD，则 OD=a/2，CD=， 在一般情况下，当 O、D、C 不在一条直线上（不共线）时，总有 CD+CDOC， 所以当 O、D、C 三点共线时，OC=CD+OD，取得最大值：a/2+ 策略分析：不能直接转化为两点之间的距离的题目，可以利用几何图形的性质转化为“折线和”，在利用 三角形三边长短关系或两点之间线段最短的性质得到结论。 优立方数学：http:/www.ulifun.com 专注数学思维训练！专注数学思维训练！第 2 / 5页 2、利用点到直线的距离中垂线段最短、利用点到直线的距离中垂线段最短 问题：问题：ABC 中，一点中，一点 P 在边在边 AC 上运动，若上运动，若 AB=AC=5，BC=6，则，则 AP+BP+CP 的最小值为的最小值为_ 问题解析：因为 AB=AC=5，所以 AP+CP=5 是定值，于是 AP+BP+CP 要取得最 小值，就只需要 BP 取得最小值。显然 BP 是 AC 所在直线外一点 B 到直线 AC 的距离，可知点到直线的距离中垂线段最短，所以当 BPAC 时，BP 最短。 策略分析：我们通常需要将一些定长的线段剔除掉，专注于去考虑变化的线 段的取值，转化为定点到定直线的距离，再利用“点到直线的距离中，垂线段最短”来求解。 几何最值中，经常会利用对称、旋转、平移等变换将那些比较分散的线段转移到适当的位置（一般而言， 这些适当的位置包括：构成定点到定直线的直线或者折线距离、构成两点之间的直线或者折线距离：总体 思想是：移动后的线段最好要首尾相连，构成一条首尾相连的折线段或直线） 二、利用轴对称型二、利用轴对称型 1、原始模型：牛饮水模型（一定直线、原始模型：牛饮水模型（一定直线+两定点两定点+一动点：两定点在直线的同侧）一动点：两定点在直线的同侧） 模型描述模型描述：点点 A 是农场是农场，现在需要将牛牵到河现在需要将牛牵到河 MN 处去饮水处去饮水，然后在赶到然后在赶到 B 处的草场去吃草处的草场去吃草，那么牛从那么牛从 A 出发，饮水完后再到草场出发，饮水完后再到草场 B，走的最短路程是多少，走的最短路程是多少_ 问题解析：定直线是 MN，两个定点分别是 A、B，一个动点为 P，即牛饮水 的地方。现作 A 点关于 MN 的对称点 A，连接 AB，与 MN 的交点即为牛饮 水的点 P，此时牛所走的路程 AP+BP 最短。 策略分析：如果不作 A 关于 MN 的对称点，那么 AP 和 BP 始终不能利用两点 间线段最短的性质，当作了 A 关于 MN 的对称点 A后，AP 就转化为 AP（AP=AP），求 AP+BP 的最小值就 是求 AP+BP 的最小值，此时 AP 和 BP 就成了首尾相连的折线段。再利用两点之间线段最短的性质，可知 A、P、B 必须共线，AP+BP 才最短，就是线段 AP 的长度。所求的 P 点就是 AP 与 MN 的交点。如果该点 不在 P 点， 而在比如说 T 点， 如图，则有牛所走的路程为 AT+BT=AT+BT， 在ATB 中， 始终有 AT+BTAP。 可知除了 P 的之外的任何一点，都有牛所走的路程大于 AP+BP。 2、一定直线、一定直线+两定点两定点+一动点模型：两定点在直线的同侧一动点模型：两定点在直线的同侧 问题描述：在直线问题描述：在直线 MN 的同侧有两定点的同侧有两定点 A、B，在直线，在直线 MN 上找一点上找一点 P， 使得使得|AP-BP|最大。最大。 问题解析：连接 AB 并延长交 MN 于点 P，此时点 P 就是使得|AP-BP|最 大（此时 AP-BP=AB）的点。 策略分析：两定点在直线同侧，在直线上求一点使两定点到动点的距离只差绝对值最大时，只需要连接两 个定点，并延长使其与直线相交，交点就是要求的点 P。假如不是交点 P，而是另外一点，比如说 T，如图， 那么在ABT 中，始终有 AT-BTAB，只有当点 A、B、T 不能形成三角形时，AT-BT=AB，这个时候 T 点就 优立方数学：http:/www.ulifun.com 专注数学思维训练！专注数学思维训练！第 3 / 5页 在 P 点的位置。 3、一定直线、一定直线+两定点两定点+一动点模型：两定点在直线的异侧一动点模型：两定点在直线的异侧 问题描述：在直线问题描述：在直线 MN 的异侧有两个定点的异侧有两个定点 A、B，在直线上找一点，在直线上找一点 P，使得，使得|AP-BP|的值最大。的值最大。 问题解析：如图，作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 AB，并延长交 MN 于点 P，此时的点 P 就是使|AP-BP|最大的点，|AP-BP|=|AP-BP|=AB。 策略分析：若是求 AP+BP 最小，显然就是连接 AB，求 AB 的长即可。但是求 |AP-BP|的最大值，就需要将 B 转化到和 A 的同侧去。假如不是点 P，而是除 P 点外的另外一点，比如点 T，如图，在ATB中，始终有 AT-BT=AT-BTAB，只有当 A、T、B不能形成三 角形（A、T、B共线时）时才有 AT-BT=AT-BT=AB，此时点 T 与点 P 重合。 4、两直线、两直线+一定点一定点+一动点模型一动点模型 问题描述问题描述：如图如图，已知两定直线已知两定直线 a 和和 l，其中定直线其中定直线 l 上有一个定点上有一个定点 A，在定直线在定直线 a 上有一个动点上有一个动点 P，请找请找 到使到使 PA 和点和点 P 到直线到直线 l 的距离之和最小的点的距离之和最小的点 P 的位置。的位置。 问题解析：作点 A 关于直线 a 的 对称点 A，再过 A作直线 l 的垂 线 A，交直线 a 于点，交直 线 l 于点，可知就是使得 AP+BP 最小的点 P 的位置。他们的 最小值就是线段 AB0的长度。 策略分析：如左图，只有点 A 是定点，点 P 和 B 都是动点，并且点 A 和最后确定的点 B（垂足，因为先从 A 引一条线段 AP 交直线 a 于点 P，再过 P 作直线 l 的垂线，最后确定出点 B 的位置，所以说点 B 是 A、P、 B 三个点中最后确定下来的）在同一条直线上，此时需要利用对称将定点放在动点 P 所在直线的另一侧， 才能利用点到直线的距离中垂线段最短的性质来求线段和的最小值。除之外的任何一点，比如说点 P，就 有 AP+BP=AP+BPABAB0，只有当 A、P、B 三点共线，且 AB 垂直于直线 l 时，点 B 与点 B0重合，点 P 与点 P0重合，才能使 AP+BP=AP0+B0P0=AB0，即取得最小值。 5、两直线、两直线+一定点一定点+两动点型模型两动点型模型 问题描述：如图，在AOB 内部有一个定点 P，在 OA 边和 OB 边上是 否存在点 M 和 N，使得PMN 的周长最小？ 问题解析：作点 P 关于 OB 的对称点 P，关于的对称点，连接 和，交和于点和，则和就是使得 优立方数学：http:/www.ulifun.com 专注数学思维训练！专注数学思维训练！第 4 / 5页 的周长最小的点。 策略分析：通过做点关于和的对称点，就可以将的 三条边转化为三条顺次相连的折线段：，当， ，和共线的时候，这三条折线段的长度和就是两点之间的距离两点之间的 线段长度，此时就是周长的最小值。注意点：将线段转化为顺次相连的折线段之和，再利用两点 之间线段最短来求最小值经常会用到。 6、两直线、两直线+两定点两定点+两动点模型两动点模型 已知两个定点在两条相交线内部，在两条相交线上找两个点，使线段长度和最小，便是该类问题。基 本思路是：通过轴对称“搬点移线”，把线段移到同一条直线上去解决（或移动到两点之间形成顺次连接 的折线段，再用两点之间线段最短来求最小值） 问题描述问题描述 1：如图两条相交线：如图两条相交线 l1和和 l2的内部有两个定点的内部有两个定点 A 和和 B， 在直线在直线 l1和和 l2上分别找一点上分别找一点 M 和和 N，使得，使得 AM+MN+BN 之和最小。之和最小。 问题解析：作点 A 关于直线 l1的对称点 A，作点 B 关于直线 l2 的对称点 B，连接 A和 B，线段 AB交直线 l1和 l2于点 C 和点 D，则点 C 和点 D 就是使得 AM+MN+BN 之和最小时点 M 和点 N 所在的位置。 策略分析：连接 AM、BN，则 AM=AM、BN=BN，于是我们就把线段 AM、MN、BN 转化成可以压缩成共 线线段的折线段之和了，因为 AM+MN+BN=AM+MN+BNAB，可知只有当 A、M、N、B四点共线的时候， 此时 M 点到达 C 点的位置，N 点到达 D 点的位置，AM+MN+BN=AC+CD+DB=AB，取得最小值，就是线段 AB的长度。 问题描述问题描述 2：在：在MONMON 两边上有两定点两边上有两定点 A A 和和 D D，试在边，试在边 OMOM 和和 ONON 上上 找两个点找两个点 C C 和和 B B，使得折线，使得折线 ABCDABCD 的长度最小。的长度最小。 问题解析：作点 A 关于 ON 的对称点 A，作点 D 关于 OM 的对称 点 D，连接 AD，与 ON、OM 分别交于点 B、C，就是使得折 线 ABCD 长度最小的位置。最小长度是线段