三角函数在实际中的应用

专题3 锐角三角函数在实际中的应用解题技巧：1如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线），构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）；2在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。一 仰角、俯角问题1某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）（1）求小敏到旗杆的距离DF（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度（结果保留整数，参考数据：1.4，1.7）2如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离（参考数据：sin56°=0.83，tan56°1.48，1.73，结果保留整数）3 (2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB.4.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，（1）求BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）5.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541.91米，求飞机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：1.73，1.41）6 (2015丹东10分)如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°，tan37°，sin48°，tan48°)7.如图，一楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1：，山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=6米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得点E的俯角为45°（1）求点E距水平面BC的高度；（2）求楼房AB的高（结果精确到0.1米，参考数据1.414，1.732）8如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.20)9.（2015荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）10（2015达州）学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角AFH=30°；（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角EGH=45°；（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB（取1.732，结果保留整数） 11（2015河南）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°0.74，cos48°0.67，tan48°1.11，1.73） 12（2014河南）在中俄“海上联合2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度（结果保留整数，参考数据：sin68°0.9，cos68°0.4，tan68°2.5，1.7） 二 坡度、坡角问题13如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角BAE45°，坝高BE20米汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角F30°，求AF的长度(结果精确到1米，参考数据：1.414，1.732)114(2014山西)如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA，BB，CC分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i112，钢缆BC的坡度i211，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)15（2015广安）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为i=1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为，已知tan=，升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度 三 方向角问题16如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向求货船的航行速度（精确到0.1海里/时，参考数据：1.41，1.73）17某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)18.如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC150 m求A点到河岸BC的距离(结果保留整数)(参考数据：1.41，1.73)19.(2013年河南省)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为，背水坡坡角，新坝体的高为，背水坡坡角。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度.(结果精确到0.1米，参考数据：）答案1考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析:（1）过点A作AMEF于点M，过点C作CNEF于点N设CN=x，分别表示出EM、AM的长度，然后在RtAEM中，根据tanEAM=，代入求解即可；（2）根据（1）求得的结果，可得EF=DF+CD，代入求解解：（1）过点A作AMEF于点M，过点C作CNEF于点N，设CN=x，在RtECN中，ECN=45°，EN=CN=x，EM=x+0.71.7=x1，BD=5，AM=BF=5+x，在RtAEM中，EAM=30°=，x1=（x+5），解得：x=4+3，即DF=（4+3）（米）；（2）由（1）得：EF=x+0.7=4+0.74+3×1.7+0.79.810（米）答：旗杆的高度约为10米点评:本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解考点:解直角三角形的应用2分析:作ADBC交CB延长线于点D，线段AD即为文物在地面下的深度设AD=x通过解直角ABD求得BD=；通过解直角ACD求得CD=x，由此列出关于x的方程，通过方程求得AD的长度最后通过解直角三角形ABD来求AB的长度即可解：作ADBC交CB延长线于点D，线段AD即为文物在地面下的深度根据题意得CAD=30°，ABD=56°设AD=x在直角ABD中，ABD=56°，BD=在直角ACD中，ACB=30°，CD=AD=x，x=+20解得x18.97，AB=23答：从B处挖掘的最短距离为23米点评:此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算3【思路分析】首先，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得ABEF，AEBF.由题意可知，AEBF1100200900米，CD1.99×104米，然后分别在RtAEC与RtBFD中，利用三角函数求得CE与DF的长，继而求得两海岛间的距离AB.解：如解图，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD，交CD的延长线于点F.则四边形ABFE为矩形，ABEF，AEBF.由题意可知AEBF1100200900(米)，CD19900(米)在RtAEC中，C45°，AE900(米)，CE900(米)，在RtBFD中，BDF60°，BF900(米)，DF300(米)，ABEFCDDFCE19900300900(19000300)米答：两海岛之间的距离AB是(19000300)米4.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析:（1）作PQAB交AB的延长线于H，根据三角形的外角的性质计算；（2）设PQ=xm，根据正、余弦的定义表示出QH、BH，根据等腰直角三角形的性质列式计算即可解：（1）作PQAB交AB的延长线于H，由题意