广东省深圳市高级中学2019届高三12月模拟考试数学（理）试题含答案

1 深圳高级中学深圳高级中学 2019 届高三年级届高三年级 12 月模拟考试月模拟考试 理理 科科 数数 学学 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 2 30Ax xx，ln2Bx yx，则AB （ ） A2,B2,3C3,D,2 2.设，是两个不同的平面，是直线且， “”是“”的（ ）.mm/m/ A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2+的离心率为（ ） A B C 或 D 或 4九章算术中有“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节 的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则该竹子的容积为（ ） A 100 11 升B 90 11 升C 254 33 升D 201 22 升 5.已知向量，满足，则向量在方向上的投影为（ ）a b | 2a | 4b ()aab a b ABCD 1221 6.已知直线430xya与 22 :40C xyx相交于A、B两点，且，则实数120ACB a的值为（ ） A3 B10 C. 11或21 D3或13 7已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ） 2 ABCD 2 x x y 22 x y e x yx |2| 2 x yx 8若双曲线：的一条渐近线被抛物线所截得的弦长为，C 22 22 10,0 xy ab ab 2 4yx 3 2 则双曲线的离心率为（ ）C AB1C2D4 1 4 9.函数（其中）的图像如图所示，为了得到 sinf xAx0, 2 A 的图像，只需将的图像( ) cos 2 2 g xx ( )f x A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 3 3 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 6 6 10.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( ) A. B. C. D.88 24 688 22 622 26 126 224 11.记数列的前项和为.已知，则（ ） n an n S 1 1a 1 ()2 () n nnn SSanN 2018 S A B C. D 1009 3(21) 1009 3 (21) 2 2018 3(21) 2018 3 (21) 2 12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) 2 ( )ln ln x f xaxx xx 7 x 3 A. B. C. D. 1 (1,) 1 e ee 1 1, 1 e ee 1 (, 1) 1 e ee 1 , 1 1 e ee 二二填空题：本大题填空题：本大题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13已知向量a与b的夹角为60，2a，3b，则32ab_ 14若tan3， 0 2 ，则 cos 4 _ 15某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长 为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36，则该几何体的体积为_ 16.中，角，所对边分别为， .是边的中点，且，ABCABCabcDBC 10 2 AD ，则面积为 8 sin3 15aBc 1 cos 4 A ABC 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 8 小题，满分小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 n a的前n项和为 n S，且n， n a， n S成等差数列， 2 2log11 nn ba （l）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b中去掉数列 n a的项后余下的项按原顺序组成数列 n c，求 12100 ccc的 值 18. 在中，内角，的对边分别为， 且.ABCABCabcsin()sinsinbBcbCaA （1）求角的大小；A （2）若，且的面积为，求. 3 sinsin 8 BC ABC2 3a 19如图，四棱锥中，为正三角形，PABCDPAD/AB CD2ABCD90BAD 4 ，为棱的中点PACDEPB （1）求证：平面平面；PAB CDE （2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值PCPAD45ADEC 20已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有 22 22 :10 xy Cab ab 1 F 2 FP ，椭圆的离心率为；来源:学科网 12 4PPFF 1 2 e （1）求椭圆的标准方程；C （2）已知，过点作直线 与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，线段4,0NNl,A BAB l 的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围ABQ l yMMQ 21.已知函数，其中 2 1 ( )ln(1) 2 f xxmxmR （1）求函数的单调区间；( )f x （2）若函数存在两个极值点，且，证明：( )f x 1 x 2 x 12 xx 1 2 ()11 ln20 42 f x x 22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数） ，以射线为xOyC 2cos 3sin x y Ox 极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为lcossin30 （1）将曲线的参数方程化成普通方程，将直线 的极坐标方程化成直角坐标方程；Cl （2）求直线 与曲线相交所得的弦的长lCAB 5 2019 届高三年级届高三年级 12 月模拟考试理科数学月模拟考试理科数学 答答 案案 1B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 10.A 11.A 12,A 8 【解析】双曲线：的一条渐近线方程不妨设为：，与抛C 22 22 10,0 xy ab ab 0bxay 物线方程联立，消去，得，所以，所以所截得的弦 2 0 4 bxay yx y 2 40axbx 12 12 4 0 b xx a x x 长为，化简可得， 22 22 3 1 162 bb aa 2 3 42 bc a ，得或（舍） ，所以双曲线的离心率 2 2 3bca 2224 12caca 42 120ee 2 4e 3-C 2e 9.【解析】由图像知， 1A 7 4123 T T 2 2 7 ()1 12 f ，得，所以，为了得到 73 22 122 k 2 3 ( )sin(2) 3 f xx 的图像，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故 cos 2sin(2 ) 2 g xxx ( )f x 6 选 D 10.该几何体为如图中的三棱锥 CA1C1E，ECEA1，A1C4，2 51616163 三角形 EA1C 的底边 A1C 上的高为：2，2 表面积为：S24244424 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2388 24 6 11 7 x 6 12. 有 3 个不同解，令 ln ,(0,) ln xx ax xxx ln ( ), ln xx g x xxx 当时，令，则 2222 1 ln1 lnln (1 ln )(2ln ) (0,),'( ), (ln )(ln ) xxxxxx xg x xxxxxx 则 (0,)x2lnyxx 递减；当递增，则 1211 '2,(0, ),'0, 2 x yxyy xx 当 1 ( ,),'0, 2 xyy 时，恒有得或 min 1 1 ln1ln20,(0,) 2 yx 则当 2ln0.'( )0,xxg x令 1x 递减；递增；时， ,(0,1),'( )0, ( )xexg xg x且时(1, ),'( )0, ( )xeg xg x时( ,)xe 递减，则的极小值为的极大值为结合函数图象 '( )0, ( )g xg x( )g x(1)1, ( )gg x 1 ( ), 1 e g e ee 可得实数a的取值范围是.答案A 1 (1,) 1 e ee 二填空题：本大题二填空题：本大题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 【解析】2 a，3b，a与b的夹角为60， 1 cos60233 2 a bab， 又 2 22 329124361233636 abaa bb，326ab，故答案为6 14 【解析】由tan3，可得 sin 3 cos 又 22 sincos1，结合 0 2 ，可得 3 10 sin 10 ， 10 cos 10 22 5 coscossin 425 ，故答案为 2 5 5 7 15 根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36，即 3 4 36 3 R ，3R，则球心O到底面等边ABC得中心 O 的距离 2 2 3 32 2 3 OOR ， 根据球心 O 与高AD围成的等腰三角形，可得三棱锥的高24 2h OO ，故三棱锥的体积 2 13 34 26 34 V 即答案为6 16. 三解答题三解答题 17 【解析】 （1）因为n， n a， n S成等差数列，所以2 nn Sna，·····2 分 所以 11 122 nn Snan ，得 1 122 nnn aaa ，所以 1 1212 nn aan ·····4 分 8 又当1n 时， 11 12Sa ，所以 1 1a ，所以 1 12a ， 故数列1 n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 1 12 22 nn n a ，即21 n n a ·····6 分 （2）根据（1）求解知， 2 2log121121