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北京市第四中学2019届高三高考调研卷文科数学试题(一)含答案解析

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北京市第四中学2019届高三高考调研卷文科数学试题(一)含答案解析

北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分,共20小题,满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合,则如图中阴影部分所表示的集合为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为,然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为,或,0,1,即, 故选:D【点睛】本题主要考查集合的基本运算,利用图象先确定集合关系是解决本题的关键,比较基础2.复数的虚部是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:化简复数z,写出它的虚部即可详解:复数z=i,z的虚部是1故选:D点睛:复数的运算,难点是乘除法法则,设,则,.3.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行,则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析:求出满足条件的正三角形ABC的面积,再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的面积,然后代入几何概型公式即可得到答案详解:满足条件的正三角形ABC如下图所示:其中正三角形ABC的面积S三角形=×16=4,满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示,则S阴影=2,则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是:P=1=1,故选:A点睛:几何概型问题时,首先分析基本事件的总体, 再找所研究事件的区域,选择合适的度量方式,概率就是度量比,一般是长度、面积、体积.4.阅读如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的k值是( )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】试题分析:由程序框图知第一次运行;第二次运行;第次运行 ,当输入时,由得,程序运行了次,输出的值为考点:程序框图.5.已知三棱柱的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角(如图所示,分别是三边的中点)后得到的几何体如图,则该几何体的侧视图为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为平面平面, 所以几何体的左视图为直角梯形,且直角腰在左视图的左侧,故选A6.中国古代数学著作算法统宗巾有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难 日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为:“有人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”问此人第4天和第5天共走了A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里【答案】D【解析】【分析】每天行走的里程数是公比为的等比数列,且前和为,故可求出数列的通项后可得.【详解】设每天行走的里程数为,则是公比为的等比数列,所以,故(里),所以(里),选C.【点睛】本题为数学文化题,注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型,这类问题往往是基础题.7.的内角,的对边分别为,已知,则角( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由正弦定理可得,可得,由,可得,由为三角形内角,可得,由正弦定理可得由,可得,故选D.8.已知直线与圆:相交于,两点(为坐标原点),且为等腰直角三角形,则实数的值为( )A. 或B. 或C. D. 【答案】B【解析】直线与圆:相交于,两点(为坐标原点),且为等腰直角三角形,到直线的距离为,由点到直线的距离公式可得.故选B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分9.若变量,满足不等式组则的最大值为_【答案】1【解析】表示到的斜率,由可行域可知,过点或时,斜率最大,即。点睛:本题考查线性规划的应用。首先要正确表示可行域,特别是区域的判断,一般利用特殊点法。然后要掌握线性最值的求解,一般是直线平移,本题考查的几何性质是两点斜率,要掌握常见的几种几何性质。10.如图,有5个全等的小正方形,则的值是_【答案】1【解析】 由平面向量的运算可知,而, 所以, 注意到不共线,且, 即,所以,即11.已知四棱锥的外接球为球,底面是矩形,面底面,且,则球的表面积为_【答案】【解析】设球心为,半径为,到底面的距离为,四棱锥的底面是矩形,侧面是等边三角形,且有侧面底面,四棱锥的高为,底面矩形外接圆半径为,四棱锥的外接球表面积为,故答案为.12.如图,某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地,外的地方种草,的内接正方形为一水池,其余的地方种花,若,设的面积为,正方形的面积为,当固定,变化时,则的最小值是_【答案】【解析】,令,则,函数在上递减,因此当时,有最小值,此时,当时,“规划合理度”最小,最小值为,故答案为.13.如图所示,格纸上小正方形的边长为1,粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积是_【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得:该几何体为边长为2的正方体中挖去一个圆锥,数形结合可得答案【详解】解:该几何体直观图为边长为2的正方体中挖去一个如图所示的圆锥,该几何体的表面积为S6×22+×124+(1),故答案为:【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键,属于中档题14.已知首项为2的数列的前项和满足: ,记,当取得最大值时, 的值为_【答案】8【解析】因为,所以,所以.所以,因为,所以,所以数列是以为首项,公比为2的等比数列,所以,即,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以,即.所以,因为对称轴,所以当时,取得最大值故答案为:8.点睛:求解数列中的最大项或最小项的一般方法:(1)研究数列的单调性,利用单调性求最值;(2)可以用或;(3)转化为函数最值问题或利用数形结合求解.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.设数列an的前n项之和为,数列bn满足.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列bn前n项之和Tn.【答案】(1) ; (2).【解析】【分析】(1)利用递推关系,两式作差即可得出;(2),利用“分组求和法”与“裂项求和”方法即可得出【详解】(1)当n1时,a1S13,由得anSnSn13n(n2)又a1也符合,an3n(nN)(2) 所以 .【点睛】本题考查了“分组求和法”、“裂项求和”方法、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题16.函数在它的某一个周期内的单调减区间是将的图象先向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为()求的解析式;()求在区间上的最大值和最小值【答案】(1)(2)最大值为1,最小值为 【解析】试题分析:根据已知及周期公式求得的值,然后求出的值,从而可求出的解析式,进而得到确定的单调性,然后求出最值解析:(1),又, (2) g(x)在为增函数,在上为减函数,所以,,故函数在上的最大值和最小值分别为1和- 17.已知长轴长为4的椭圆过点,点是椭圆的右焦点.(1)求椭圆方程;(2)是否在轴上的定点,使得过的直线交椭圆于两点.设点为点关于轴的对称点,且三点共线?若存在,求点坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在定点满足条件.【解析】分析:(1)根据题意得到和,从而得椭圆方程;(2)设,直线方程为,与椭圆联立得,设,则,由三点共线有:,即,结合韦达定理即可得解.详解:(1) , ,点代入 有:椭圆方程为: (2)存在定点满足条件:设,直线方程为,联立消有,设,则,且 由三点共线有: , 存在定点满足条件.点睛:本题考查了直线与椭圆、圆与椭圆的位置关系,在求解此类问题时设出直线方程,联立直线方程与曲线方程,结合根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积,然后按照题目要求给出各量之间的关系,从而计算出结果,本题需要一定的计算能力.18.如图,在棱长为的正方体中,分别在棱,上,且.(1)求异面直线与所成角的余弦值.(2)求四面体的体积.【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)通过补形法得到异面直线A1E与C1F所成的角,利用余弦定理求解;(2)证明平面,然后利用等积法求四面体的体积【详解】(1)在正方体中,延长至,使,则.为异面直线与所成的角.在中,.(2)在上取一点,使.,从而,平面, .【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,考查了利用等积法求多面体的体积,考查空间想象能力与计算能力,是中档题19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题,为了了解声音强度(单位:分贝)与声音能量(单位:)之间的关系,将测量得到的声音强度和声音能量(,2,10)数据作了初步处理,得到如图散点图及一些统计量的值表中,(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据表中数据,求声音强度关于声音能量的回归方程;(3)当声音强度大于60分贝时属于噪音,会产生噪音污染,城市中某点共受到两个声源的影响,这两个声源的声音能量分别是和,且已知点的声音能量等于声音能量与之和请根据(1)中的回归方程,判断点是否受到噪音污染的干扰,并说明理由附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.【解析】分析:(1)根据散点图,可知(2)利用回归系数公式先求出D关于w的回归方程,再转化为D关于I的回归方程;(3)利用对数的运算性质和基本不等式求出I的最小值,计算的最小值,从而作出判断详解:(1)更适合(2)令,先建立关于的线性回归方程,由于,关于的线性回归方程是,即关于的回归方程是(2)点的声音能量, ,根据(1)中的回归方程,点的声音强度的预报值,点会受到噪声污染的干扰点睛:求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系;(2)求系数:公式有两种形式,即。当数据较复杂时,题目一般会给出部分中间结果,观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求;(3)求: ;(4)写出回归直线方程20.已知函数,.(1)若时,求函数的最小值;(2)若,证明:函数有且只有一个零点;(3)若函数有两个零点,求实数的取值范围.【答案】(1)最小值;(2)见解析;(3).【

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