河北省衡水中学2018-2019学年高三第一次摸底考试数学（文）试卷 含答案解析

2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(文)试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知集合2，3，则A B C D2已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为A1 B C D3已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为A5 B C D4如图的折线图是某农村小卖部2018年一月至五月份的营业额与支出数据，根据该折线图，下列说法正确的是A该小卖部2018年前五个月中三月份的利润最高B该小卖部2018年前五个月的利润一直呈增长趋势C该小卖部2018年前五个月的利润的中位数为万元D该小卖部2018年前五个月的总利润为万元5如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为的正方形和一个直角三角形围成现已知，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为A B C D6已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为A B C D7在直三棱柱中，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A B C D8设命题将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象；命题若，则，则下列命题为真命题的是A B C D9设函数，若直线，分别是曲线与的对称轴，则A2 B0 C D10某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是A B2 C4 D611已知双曲线的离心率为2，左，右焦点分别为，点在双曲线上,若的周长为，则A B C D12对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，则曲线的“优美点”个数为A1 B2 C4 D6二、解答题13已知数列满足，且求证：数列为等差数列；求数列的通项公式；记，求数列的前2018项和14在如图所示的多面体中，平面 ()证明：平面；()若，求三棱锥的体积15如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲，外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如表：1日2日3日4日5日外卖甲日接单(百单)529811外卖乙日接单(百单)2.22.310515(1)据统计表明，与之间具有线性相关关系.()请用相关系数加以说明：(若，则可认为与有较强的线性相关关系(值精确到0.001)()经计算求得与之间的回归方程为.假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于2500单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围：(值精确到0.01)(2)试根据表格中这五天的日接单量情况，从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经营状况.相关公式：相关系数，参考数据：.16已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且求抛物线的方程；动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由17已知函数，其中为自然对数的底数讨论函数的极值；若，证明：当，时，18在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为求圆的普通方程和圆的直角坐标方程；若圆与圆相交于点，求弦的长19已知函数求不等式的解集；若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围三、填空题20已知向量，若，则_21已知实数满足不等式组，则的最小值为_22在中，角所对的边分别为，且满足，若的面积为，则_23已知正方体的棱的中点为与交于点，平面过点，且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为_12019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(文)试题数学 答 案参考答案1C【解析】【分析】求出的定义域，化简集合，根据交集的定义求解即可.【详解】因为，所以，故选C【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数及虚部的定义求解即可.【详解】，则的共轭复数的虚部为，故选C【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3D【解析】【分析】求出函数的导数，可得曲线在点处的切线斜率为5，再利用切线与已知直线垂直的条件：斜率之积为，建立方程，可求的值【详解】的导数为，可得曲线在点的处的切线的斜率为，直线的斜率为，因为切线与直线垂直，可得，解得，故选D【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查两条直线垂直斜率之间的关系，属于简单题两直线垂直的性质：(1)；(2).4D【解析】【分析】由图中数据，分别求出5个月的利润，根据中位数的定义求出利润的中位数，结合选项即可判断【详解】前五个月的利润，一月份为万元，二月份为万元，三月份为万元，四月份为万元，五月份为万元，故选项错误；其利润的中位数万元，故C错误；利润总和为万元，故D正确【点睛】本题主要考查对折线图理解与的应用，中位数的求解方法，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力以及数形结合思想的应用，属于中档题如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数.5A【解析】【分析】根据正方形的面积公式、直角三角形的面积公式求出图形总面积，由几何概型概率公式可得结果.【详解】因为，其中，该点取自其中的直角三角形区域的概率为，故选A【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；(3)利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6D【解析】【分析】根据椭圆的离心率为，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果.【详解】依题意椭圆：的离心率为得，椭圆的长轴长与焦距之和为6，解得，则，所以椭圆的标准方程为：，故选D【点睛】本题考查椭圆的简单性质与椭圆方程的求法，属于简单题用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或 ；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.7B【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】在直三棱柱中，且，点是，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，设异面直线与所成角为，则,异面直线与所成角的余弦值为，故选B【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8C【解析】【分析】由三角函数的图象平移法则判断为假命题，由，利用二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系，求得的值，判断为真命题，再由复合命题的真假逐一判断选项中的命题即可【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，故命题为假命题，为真命题；由，得，故命题为真命题,为假命题；由真值表可得为假；为假；为真命题；为假命题,故选C【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查三角函数图象的平移变换以及二倍角的正弦公式的应用，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：(1)原命题与其非命题真假相反；(2)或命题“一真则真”；(3)且命题“一假则假”.9C【解析】【分析】利用辅助角公式以及降幂公式，化简函数的解析式，再利用三角函数的图象的对称轴求得的值，从而可得的值【详解】函数，若直线，分别是曲线与的对称轴，则，即，则，故选C【点睛】本题主要考查辅助角公式与降幂公式以及三角函数图象的对称性，属于中档题函数的称轴方程可由求得；函数的称轴方程可由求得.10C【解析】【分析】判断几何体的形状，几何体可能是圆锥、正四棱锥、三棱锥，然后求解几何体的体积，判断选项即可【详解】几何体可能是圆锥，底面半径为1，高为3，几何体的体积为：，排除；几何体如果是正四棱锥，底面是正方形边长为2，高为3，几何体的体积为：，排除；几何体如果是三棱锥，底面是等腰三角形，底边长为2，三角形的高为2，三棱锥的高为3，几何体的体积为：，排除,故选C【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11B【解析】【分析】利用双曲线的离心率以及双曲线的定义、结合的周长为，列方程组求出、；然后推出结果【详解】双曲线的离心率为2，左，右焦点分别为，点在双曲线上,若的周长为，不妨在双曲线右支，可得：，解得，所以，故选B【点睛】本题主要考查双曲线