广东省中山一中等七校2019届高三第一次（8月）联考数学（理）试题

七校联合体2019届高三第一次联考试卷（8月）理科数学 第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若(为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A. B. C. D.4.函数f（x）=的图象大致为（）A. B C D5.的展开式中，的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.606.周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）A.15 B. 16 C. 17 D.187.等比数列an满足a1=3， =21，则 ( )A21 B42 C63 D848.旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（ ）A.24 B.18 C.16 D.109. 函数（其中，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度10. 过双曲线（，）的右焦点作两条渐近线的垂线，垂足分别为AB，点O为坐标原点，若四边形OAFB的面积为4，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 11某三棱锥的三视图如右图所示，且三个三角形均为直角三角形，则最大值为() (A) (B) (C) (D)12.已知函数，当时，方程 根的个数是（）A8 B6 C4 D2来源:学_科_网第卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）13.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_.14.若满足，则的最小值为_来源:学§科§网Z§X§X§K15.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_.16.设A是直线y=x-4上一点，P,Q是圆C：上不同的两点，若圆心C是APQ的重心，则APQ面积的最大值为_三、解答题（共6小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.（本小题满分12分）为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,请证明数列的前项和.18.（本小题满分12分）某厂生产一种零件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为优质品，小于大于等于为正品，小于为次品现随机抽取这种零件件进行检测，检测结果统计如下：测试指标零件数若以上述测试中各组的频率作为相应的概率.（）试估计这种零件的平均质量指标；（）生产一件零件，若是优质品可盈利元，若是正品盈利元，若是次品则亏损元；若从大量的零件中随机抽取件，其利润之和记为（单位：元），求的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，E是BC的中点，.将图沿直线折起，使得二面角A-BD-C为60°，如图所示.（1） 求证：平面；（2） 求直线与平面所成角的余弦值.来源:Zxxk.Com20（本小题满分12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线上，且证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F 21.（本小题满分12分）已知函数，.（）函数与的图象无公共点，试求实数的取值范围；（）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，,）.选做题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（为参数）和定点，、是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线的极坐标方程；（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围. 七校联合体2019届高三第一次联考试卷（8月）理科数学答案 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A 2.B 3. A 4. B5. C 6. C 7. B 8. D 9. A 10.D 11C 12. B二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）13.2 14. 15. 16. 16.详解：如图：因为是圆:上不同的两点，且圆心是的重心，故设AC=2x，则DC=x，因为CP=CQ，且D为中点，故ADPQ，所以，故面积表达式为，故面积的最大值为.三、解答题（共6小题，共70分）17.（本小题满分12分）解析：（）当n=1时，>0，=3 1分， ，2分即 4分>0，=2， 5分所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以6分（）由（）知 8分所以数列的前n项和10分， 12分18.（本小题满分12分）解：（1）平均质量指标为 3分（2）由表可得任取一件零件为优质品的概率为，任取一件零件为正品的概率为，任取一件零件为次品的概率为，6分从大量的零件中随机抽取件，其利润之和记为，则的可能取值为.，.10分故的分布列为11分的数学期望值为 12分19.（本小题满分12分）（1）证明：取中点，连接，由翻折不变性知，.， 1分.又，平面，2分，且为二面角的平面角，.由余弦定理知，4分，.4分又，平面. 5分（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，其中与轴平行，与轴平行，则， 6分 7分设平面的一个法向量为， 则有 ,得取 ，则. 9分， 11分故直线与平面所成角的余弦值为. 12分20（本小题满分12分） 3分56分8分 9分 10分12分21. （本小题满分12分）解：（）函数与无公共点，等价于方程在无解.2分令，则令得来源:学科网0增极大值减因为是唯一的极大值点，故4分故要使方程在无解，当且仅当故实数的取值范围为6分（）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.即对恒成立.6分令，则， 令，则，7分因为在上单调递增，且的图象在上连续，所以存在，使得，即，则，9分所以当时，单调递减；当时，单调递增，则取到最小值，所以，即在区间内单调递增.11分，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为. 12分 22.解：（1）曲线C：可化为，其轨迹为椭圆，焦点为和2分经过和的直线方程为，即，4分极坐标方程为. 5分（2）由（1）知，直线AF2的斜率为，因为AF2，所以的斜率为，倾斜角为30°，所以的参数方程为（t为参数）， 6分代入椭圆C的方程中，得 8分因为M，N在点F1的两侧，所以 10分23.解：（1）当时， 3分 由得不等式的解集为. 5分（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，因为，在处取得最大值， 8分所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，即. 10分11