谈谈牛吃草问题的几种解法和共同本质

谈谈牛吃草问题的几种解法和共同本质一片均匀生长的草。23头牛9天吃完，27头牛6天吃完。21头牛多少天吃完？分析：此题的2个最重要的不变量就是原有草和日长量。原有草相当于追及问题中速度慢的人的速度，日长量相当于速度慢的人的速度。除分析4其它都设1头牛1天吃1个单位分析1：设日长量为x 9（23-x）=6(27-x) x=15 原有草是72 72除以（21-15）=12天分析2：我们也可以设另外那个不变量原有草为x 方程去表示日长量23头牛对应的速度差是x/9,27头是x/6. 23-x/9=27-x/6 x/6-x/9=4 x=72代入方程得到日长量为15 然后72除以（21-15）=12天分析3：利用原有草不变我们可以用反比例速度差的比与时间比成反比时间比9：6速度差的比是2;3 27-23=4就是1份所以23头牛吃的速度差是88乘以9除以（8-2）=12天分析4：设原有草为1 23头牛每天吃的-日长量=1/9 27头牛每天吃的-日长量=1/6（1/9-1/6）除以（27-23）=1/72这为一头牛一天吃的。代入可以算出日长量是15/721除以（21/72-15/72）=12天分析5：一般竞赛书的方法 原有草+9天长出草=23乘以9 原有草+6天长出草=27乘以6（23乘以9 -27乘以6）除以（9-6）=15为日长量。代入23乘以9-15乘以9=72是原有草72除以（21-15）=12天分析6：面积法我们把速度差当长，时间当宽 23头对应速度差看为长，相当于长增加4宽由9减少到6，横向长方形面积和纵向长方形面积相等。抵消公共部分。运用余下部分面积相等（27-23）乘以6除以（9-6）=88乘以9除以（8-2）=12天 分析7：21头牛6天余下了（27-21）乘以6=36个单位，9天余下了（23-21）乘以9=18个单位 （36-18）除以（9-6）=6个单位的速度差。23头的时候速度差为8 所以时间比和速度差的比成反比，抓原有草不变。时间比为8：6=4：3 9除以3乘以4=12天小结：这里讲了7种方法，其实共同的本质都是把握了原有草和日长量不变。相对来说第一种最好理解，面积法和反比例的两种方法最精彩。一般孩子在培训班学的都是竞赛书的方法，学套路的多用心思考的孩子极少。在这里我谈牛吃草问题的解法不仅对小学生思维的提升有帮助其实对初中生应该有一定的启发。开始我是一题多解，然后来总结多种解法的共同本质，通过这一题的深入理解，我们顺便也可以解决多人行程问题了。其实小学阶段甚至初中的应用题无外乎做加法和乘法，所以可以考虑面积法。面积法又可以训练孩子们数形结合的意识。牛吃草可以看成追及问题和工程问题这就可以在纵向上加以思考。同时通过此题也可以感受为何设1头牛1天1不设原有草就是因为能算整数比分数计算方便。用比例的方法和面积的方法仍然要抓住不变量才可以。由此及彼去想行程问题就是四个字以静制动的解决。但在平时的学习中要善于积累隐性的不变量，除了注重积累显性不变量外。我的思维观念是希望孩子在会做题的基础上先一题多解拓展思维，然后回头认清问题本质，思考比题海重要的多。1