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江苏省2019届高三下学期3月月考数学试题含答案解析

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江苏省2019届高三下学期3月月考数学试题含答案解析

1 江苏省扬州中学江苏省扬州中学 2019 届高三下学期届高三下学期 3 月月考数学试题月月考数学试题 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 70 分不需要写出解答过程,请将答案填分不需要写出解答过程,请将答案填 写在答题卡相应的位置上写在答题卡相应的位置上 ) 1.已知集合 A,B2,3,4,5,则 AB_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求出集合 ,再求出集合即可得到答案 【详解】由题意得, 故答案为: 【点睛】本题考查集合的并集运算,解题的关键是正确求出集合 ,属于简单题 2.若复数 z 满足(i 是虚数单位) ,则 _ 【答案】1-i 【解析】 【分析】 根据题意求出复数 z,然后可求出 【详解】, , 故答案为: 【点睛】解答本题的关键是求出复数 的代数形式,然后再根据共轭复数的概念求解,属于基础题 3.根据如图所示的伪代码,当输出 y 的值为1 时,则输入的 x 的值为_ 2 【答案】1 【解析】 【分析】 根据图中给出的程序,将问题转化为已知分段函数的函数值求出自变量的取值即可 【详解】由题意得,当时,有,此方程无解; 当时,有,解得 故答案为:1 【点睛】解答本题的关键是读懂程序的功能,然后将问题转化为已知函数值求自变量取值的问题求解,属于 基础题 4.已知一组数据,的方差为 3,若数据,(a,bR)的方差为 12,则 a 的值为_ 【答案】 【解析】 由题意知,解得. 5.在区间(1,3)内任取 1 个数 x,则满足的概率是_ 【答案】 【解析】 【分析】 解对数不等式求出中 的取值范围,再根据长度型的几何概型概率求解即可得到答案 【详解】由得,解得 根据几何概型概率公式可得,所求概率为 故答案为: 【点睛】本题考查长度型的几何概型概率的求法,解题的关键是读懂题意,然后根据线段的长度比得到所求 的概率,属于基础题 6.已知圆锥的体积为,母线与底面所成角为 ,则该圆锥的表面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 3 设圆锥底面半径,则母线长,高, 则,求出,该圆锥的表面积为,由此能求出结果 【详解】解:圆锥的体积为,母线与底面所成角为 , 如图,设圆锥底面半径,则母线长,高, , 解得, 该圆锥的表面积为 【点睛】本题考查圆锥的表面积的求法,考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 7.函数(A0, 0, )的部分图象如图所示,则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 先求出的值,然后通过代入最值点的方法求出 的值;或根据图象求出 ,再根据“五点法”求出 的 值 【详解】方法 1:由图象得,所以,故 又点为函数图象上的最高点, 所以,故, 4 又, 所以 故答案为: 方法 2:由图象得,所以 又由图象得点对应正弦函数图象“五点”中的“第二点” , 所以,解得 故答案为: 【点睛】已知函数的图象求参数的方法:可由观察图象得到,进而得到 的值求 的值的方法有两种,一是“代点”法,即通过代入图象中的已知点的坐标并根据 的取值范围求解;另一 种方法是“五点法” ,即将作为一个整体,通过观察图象得到对应正弦函数图象中“五点”中 的第几点,然后得到等式求解考查识图、用图的能力 8.已知等差数列的前 n 项和为,若 13,36,则的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先根据求出的取值范围,然后根据不等式的性质可得所求结果 【详解】在等差数列中, , 又, 由得 ,即, 即的取值范围是 5 故答案为: 【点睛】本题考查不等式性质的运用,解题的关键是注意灵活变形、合理运用不等式的性质,属于基础题 9.如图,在ABC 中,ADDB,F 在线段 CD 上,设,则的最小值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由三点共线以及,可得,利用基本不等式即可求得 的最小值. 【详解】,由图可知均为正数. 又三点共线,则,则. 【点睛】 (1)平面向量中三点共线:若,则三点共线的充要条件是.(2) “1”的代 换是基本不等式中构造的基本方法. 10.已知数列为正项的递增等比数列,记数列的前 n 项和为,则使不等 式成立的最大正整数 n 的值是_ 【答案】6 【解析】 【分析】 设等比数列an的公比 q,由于是正项的递增等比数列,可得 q1由 a1+a5=82,a2a4=81=a1a5,a1,a5,是 一元二次方程 x282x+81=0 的两个实数根,解得 a1,a5,利用通项公式可得 q,an利用等比数列的求和公 式可得数列的前 n 项和为 Tn代入不等式 2019| Tn1|1,化简即可得出 【详解】数列为正项的递增等比数列,a2a4=81=a1a5, 即解得,则公比, 6 则 , ,即,得,此时正整数 的最大值为 6. 故答案为 6. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题 11.已知双曲线(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F2,直线 MN 过 F2,且与双曲线右支交于 M、N 两点,若 cosF1MNcosF1F2M,则双曲线的离心率等于_ 【答案】2 【解析】 【分析】 由可得,故得,所以,再根 据双曲线的定义得到,然后在和中运用余弦定理并结合 可得的关系,进而可得离心率 【详解】如图,由可得, , 由双曲线的定义可得, 在中由余弦定理得 在中由余弦定理得 , , , 整理得, ,解得或(舍去) 7 双曲线的离心率等于 2 故答案为:2 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量()来表示,然 后根据余弦定理建立起间的关系式,再根据离心率的定义求解即可,属于中档题 12.已知,函数在区间上的最大值是 2,则_ 【答案】3 或 【解析】 当时,= 函数,对称轴为,观察函数 的 图像可知函数的最大值是. 令,经检验,a=3 满足题意. 令,经检验 a=5 或 a=1 都不满足题意. 令,经检验不满足题意. 当时,, 函数,对称轴为,观察函数 的图像得函数的最大值 是. 当时,, 函数,对称轴为,观察函数 的图像可知函数的最大值 是. 令, 8 令,所以. 综上所述,故填 3 或 . 点睛:本题的难点在于通过函数的图像分析函数的性质. 本题绝对值里面是一个闭区间上的二次函数,要求 它的最大值,所以要先画出二次函数的图像,再结合二次函数的图像分析出最大值的可能情况. 13.在边长为 8 的正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,N 是 AD 边上的一点,且 DN3NA,若对于常数 m, 在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P,使,则实数 m 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系,按照点 P 在线段上进行逐段分析的取值范围及对应的解,然后取 各个范围的交集即可得答案 【详解】以 AB 所在直线为 x 轴,以 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则 (1)当点 P 在 AB 上时,设, , , , 当时有一解,当时有两解 (2)当点 P 在 AD 上时,设 , , , 9 当或时有一解,当时有两解 (3)若 P 在 DC 上,设, , , , 当时有一解,当时有两解 (4)当点 P 在 BC 上时,设 , , , 当或时有一解,当时有两解 综上,在正方形的四条边上有且只有 6 个不同的点 P,使得成立,那么 m 的取值范围是 故答案为: 【点睛】解答本题的关键有两个:一是正确理解题意,将问题转化为判断方程根的个数的问题求解;二是利 用数形结合的思想进行求解,通过建立坐标系,将问题转化为函数的知识求解难度较大 14.已知函数有两个不同的极值点,若不等式 恒成立,则实数 的 取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由是函数的两个不同的极值点可得,进而得到,然 后构造函数,求出函数的值域后可得所求范围 【详解】, 10 函数有两个不同的极值点, ,是方程的两个实数根,且, ,且, 解得 由题意得 令, 则, 在上单调递增, 又不等式 恒成立, , 实数 的取值范围是 故答案为 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,体现了导数的工具性,解题的关键是得到的表达 式解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决,当函数的最值不存在时可利用函数值域 的端点值来代替,属于基础题 二、解答题(本大题共二、解答题(本大题共 6 小题,共计小题,共计 90 分请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说分请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤明,证明过程或演算步骤 ) 15.已知函数. (1)求函数 图象的对称中心; (2)在中,若为锐角三角形且 ,求 的取值范围. 【答案】(1) ,(2)( ,2). 【解析】 11 试题分析试题分析:(1)先由两角和差公式化一 , (2) 由得到角 A,最终得到要求结果. (1) 解得 ,故对称中心为(,1) (2)由 解得所以 , 又为锐角三角形,故 所以 的取值范围是 ( ,2). 16.如图,三角形 PCD 所在的平面与等腰梯形 ABCD 所在的平面垂直, ABAD CD,ABCD,CPCD,M 为 PD 的中点 (1)求证:AM平面 PBC; (2)求证:BD平面 PBC 【答案】 (1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)取的中点 ,连,可证得四边形为平行四边形,于是,然后根据线面平行的 判定定理可得结论成立 (2)在等腰中梯形中,取的中点 ,连,证得四边形为菱形, 进而得同理四边形为菱形,可得再由平面平面得到平面, 于是得,最后根据线面垂直的判定可得平面 【详解】证明:(1)如图,取的中点 ,连, 为的中点, 为的中点, 12 , 又, , 四边形为平行四边形, 又平面,平面, 平面 (2)如图,在等腰中梯形中,取的中点 ,连, , , 四边形为平行四边形 又, 四边形为菱形, 同理,四边形为菱形, , 平面平面,平面平面,平面, 平面, 又平面, , 平面 【点睛】本题考查线面关系的证明,解题的关键是根据所证的结论并结合三种平行(垂直)间的关系进行合 13 理转化,以得到证题所需的条件,考查转化能力的运用和对基本判定方法、性质的掌握程度,属于基础题 17.如图,某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路 ll,l2,且 ll和 l2交于点 O为了方便游客游览, 计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路 AB景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为 O,半径为 2 百 米的圆,且公路 AB 与圆 O相切,圆心 O到 ll,l2的距离均为 5 百米,设OAB ,AB 长为 L 百米 (1)求 L 关于 的函数解析式; (2)当 为何值时,公路 AB 的长度最短? 【答案】 (1),.(2)当时,公路的长度最短 【解析】 【分析】 (1)建立平面直角坐标系,得到直线方程为,然后根据直线与圆相 切,得,再根据题意得到,于是 ,即为所求 (2)利用换元法求解,令,则,且 ,于是,然后结合导数求解可得所求最值 【详解】 (1)以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则 在直

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