广东省深圳实验中学珠海一中等六校2019届高三第一次联考数学理试题 含答案解析

- 1 - 广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中） 2019 届高三第一次联考理科数学届高三第一次联考理科数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1.已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用分式不等式的解法化简集合 ，从而求出集合 的补集，利用指数函数的性质化简集合 ，由交集的定义 可得结果. 【详解】由，即， 解得或，即， ， 解得，即， 则 ，故选 A. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的 关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合 且属于集合 的元素的集合. 2.若复数 满足，则 的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出 ，则共轭复数 的虚部可求. - 2 - 【详解】 ， ，共轭复数 的共轭复数的虚部 1 故选 C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分 母的共轭复数，解题中要注意把 的幂写成最简形式. 3.记为等差数列的前 项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 方法一：基本法，将等差数列前 项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得 和 ，即可求得 答案. 方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案. 【详解】方法一：基本法，数列等差数列， ，整理得，解得 方法二：性质法， ， ， ； ； 故选 D. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 项和公式，考查等差数列的性质与前 项和计算的应用，解题时 要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质. 4.在区间上随机取两个实数，记向量，则的概率为 A. B. C. D. 【答案】B - 3 - 【解析】 【分析】 由可得点在以原点为圆心以 为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，由几何概型概率 公式可得结果. 【详解】在区间上随机取两个实数， 则点在以为边长的正方形内， 因为，则 ， 因为， 所以， 点在以原点为圆心以 为半径的圆外，且在以为边长的正方形内， 所以，则的概率为， 故选 B. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度 型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问 题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导 致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证 事件是否等可能性导致错误. 5.已知直线 的倾斜角为，直线 与双曲线（）的左、右两支分别交于、 两点，且 、都垂直于 轴（其中、分别为双曲线 的左、右焦点） ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意设点，则，又由直线 的倾斜角为，得，结 合点在双曲线上，即可求出离心率. 【详解】直线 与双曲线的左、右两支分别交于、 两点，且、都垂直于 轴， - 4 - 根据双曲线的对称性，设点， 则，即，且， 又直线 的倾斜角为， 直线 过坐标原点， ，整理得，即，解方程得，（舍） 故选 D. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运 算能力和转化思想，属于中档题. 圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法： 1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出 . 根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间 的关系，得到关于 的一元方程，从而解得离心率. 2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出 . 根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于 的一元方程，从而解得离心率. 6.在中， 为的中点，点 满足，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量共线的性质可得 ，再由平面向量运算的“三角形法则”可得结果. 【详解】因为 为的中点，点 满足， 所以 ， 可得 , 故选 A. 【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量 - 5 - 是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题， 往往利用坐标运算比较简单） 7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥， 故选 C. 【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸. 8.已知 是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数 总有 成立，则的最小值为 A. B. C. D. - 6 - 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论. 【详解】 ， ，周期， 又存在实数，对任意实数 总有成立， ， 的最小值为，故选 B. 【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式 可以求出:的周期;单调区间（利用正弦函数的单调区间 可通过解不等式求得） ；值域：；对称轴及对称中心（由可得对称轴方 程，由可得对称中心横坐标. 9.定义在 上的函数满足及，且在上有，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由及可得函数是以 4 为周期的函数，结合在上有，可得结果. 【详解】函数的定义域是 ，关于原点对称， ， 函数是奇函数， ， - 7 - ， 函数是以 4 为周期的函数， ， 在上有， ， ，故选 D. 【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一 起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空 题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性 （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值 的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用 奇偶性和单调性求解. 10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为 ，则点的纵坐标的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意设，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长 与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值. 【详解】由题意设，直线的方程为， 联立方程，整理得 ， 点 M 的纵坐标， - 8 - 弦的长度为 ，即 ， 整理得，即 根据基本不等式，当且仅当，时取等， 即， ，点的纵坐标的最小值为. 故选 A. 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审 题，注意等价转化思想的合理运用. 解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为： （1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在; （2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元; （3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断; （4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系. （5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题. 11.已知三棱锥中，且二面角的大小为， 则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可知，三棱锥外接球的球心 在过外接圆圆心 的法线上，设，由题设条件可知， 外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积. 【详解】如图，设中点为，过点作，过点 作垂足为 ， 交于 ，则 为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心 在直线上， 设 ，且二面角的大小为， - 9 - ， ，, 在中，； 在中，； 外接球半径， ，解得 ，外接球表面积 故选 D. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、 勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题. 12.已知数列满足设，为数列的前 项和若（常 数） ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 当时，类比写出，两式相减整理得，当时， 求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定 的最 小值. - 10 - 【详解】 当时，类比写出 由-得 ，即. 当时， ， -得， （常数） ， 的最小值是 故选 C. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前 n 项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公 式的合理选用. 1、已知数列的前 项和与 的关系式，求数列的通项公式的方法如下： （1）当时，用替换中的 得到一个新的关系，利用 便可求出当时 的表达 式； （2）当时， 求出 ； （3）对时的结果进行检验，看是否符合时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写 2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前 项 - 11 - 和即可用此法来求。 数列前 项和，则 ，两式错位相 减并整理即得. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.若满足约束条件 则的最大值为_ 【答案】25 【解析】 【分析】 先根据约束条件绘制可行域，再根据表示可行域内点到原点的距离的平方，在可行域内确定最长 距离，即可求得答案. 【详解】可行域如图，表示可行域内点到原点距离的平方 的最大值对应点 A 联立，解得 所以的最大值为 故答案为. 【点睛】本题考查线性规划的距离型问题，线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、 分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 14.若，则的展开式中常数项为_ 【答案】240 - 12 - 【解析】 【分析】 先根据定积分运算法则求出 ，再根据展开式的通项公式，令 的指数为 ，即可求得答案. 【详解】 展开式的通项公式为 令，即. 的展开式中，常数项是 故答案为 240. 【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是 解题关键. 15.已知点及圆，一光线从点 出发，经 轴上一点 反射后与圆相切于点 ，则 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据反射