东北三省三校（ ）2019届高三第一次模拟 数学（文）含答案解析

1 东北三省三校东北三省三校2019 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试 （哈尔滨师大附中、东北师大附中、（哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学）辽宁省实验中学） 数学（文）试题数学（文）试题 一、单选题一、单选题 1复数复数的虚部是（的虚部是（ ） A4B-4C2D-2 【答案】D 【解析】先将复数进行化简得，得出答案. 【详解】 复数= 所以虚部为-2 故选 D 【点睛】 本题主要考查了复数的化简，属于基础题. 2集合集合，则，则（ ） ABCD 【答案】B 2 【解析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案. 【详解】 因为可得，集合， 所以 故选 B 【点睛】 本题主要考查了交集的定义，属于基础题. 3已知向量已知向量的夹角为的夹角为，则，则（ ） ABCD 【答案】C 【解析】由题，先求出，可得结果. 【详解】 所以 故选 C 【点睛】 本题主要考查了数列的运算，属于基础题. 4设直线设直线与圆与圆相交于相交于两点，且两点，且，则圆，则圆 的面积为（的面积为（ ） 3 ABCD 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为,半径为，利用圆的弦长公式,求出 值，进而求出圆 半径，可得圆的面积. 【详解】 圆的圆心坐标为,半径为， ， 直线与圆相交于两点，且， 圆心到直线的距离， 所以，解得， 圆的半径， 所以圆的面积，故选 C. 【点睛】 本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是 利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角 三角形，利用勾股定理求解. 5等差数列等差数列的前的前 项和为项和为，且，且，则，则（ ） A30B35C42D56 【答案】B 4 【解析】先根据题目已知利用公式求出公差 ， ，再利用求和公式得出结果. 【详解】 因为是等差数列，所以， 所以公差 ， 根据求和公式 故选 B 【点睛】 本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题. 6已知已知，则，则（ ） ABCD 【答案】A 【解析】由，利用两角和的正切公式求得，再根据同角三角函数的关系求 解即可. 【详解】 因为， 所以， 5 所以，且 解得，故选 A. 【点睛】 三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的， 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特 殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另 外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质 是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确 定角 7执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的 的值为的值为 4， 第二次输入的第二次输入的 的值为的值为 5，记第一次输出的，记第一次输出的 的值为的值为，第二次输，第二次输 出的出的 的值为的值为，则，则（ ） A2 B1C0 D-1 【答案】D 【解析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可的结果. 【详解】 当输入 x 的值为 4 时， 第一次不满足 ，但是满足 x 能被 b 整除，输出； 当输入 x 的值为 5 时， 6 第一次不满足 ，也不满足 x 能被 b 整除，故 b=3 第二次满足 ，故输出 则-1 故选 D 【点睛】 本题主要考查了程序框图，属于较为基础题. 8设设，则，则的大小关系为（的大小关系为（ ） ABCD 【答案】B 【解析】利用指数函数的单调性可得，根据幂函数的单调性可得，从而可得结果. 【详解】 因为指数函数是减函数，,所以,即， 所以，故选 B. 【点睛】 本题主要考查幂函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题， 7 常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ） ；二是 利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 9已知已知是不重合的平面，是不重合的平面，是不重合的直线，则是不重合的直线，则的一个充分条件是（的一个充分条件是（ ） A，B， C，D， 【答案】C 【解析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，得出，再得出， 得出答案. 【详解】 对于答案 A：，得出与 是相交的或是垂直的，故 A 错； 答案 B：，得出与 是相交的、平行的都可以，故 B 错； 答案 C：，得出，再得出，故 C 正确； 答案 D: ，得出与 是相交的或是垂直的，故 D 错 故选 C 【点睛】 本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关 键所在，属于较为基础题. 10圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母 表示，早在公元表示，早在公元 480 年左右，南北朝时期年左右，南北朝时期 的数学家祖冲之就得出精确到小数点后的数学家祖冲之就得出精确到小数点后 7 位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数 点后第七位的人，这比欧洲早了约点后第七位的人，这比欧洲早了约 1000 年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值；从区间的值；从区间内随机抽取内随机抽取 200 个数，构成个数，构成 100 个数对个数对，其中满足不等式，其中满足不等式的的 8 数对数对共有共有 11 个，则用随机模拟的方法得到的个，则用随机模拟的方法得到的 的近似值为（的近似值为（ ） ABCD 【答案】A 【解析】根据满足不等式的数对表示的点在 轴上方、正方形内且在圆外，得出数 对所在的平面区域，利用几何概型概率公式列方程可得出 的值. 【详解】 在平面坐标系中作出边长为 1 的正方形和单位圆， 则符合条件的数对表示的点在 轴上方、正方形内且在圆外的区域， 区域面积为， 由几何概型概率公式可得 解得，故选 A. 【点睛】 本题主要考查随机模拟实验以及“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型 有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以 及事件的面积. 9 11双曲线双曲线 的左焦点为的左焦点为，点，点 的坐标为的坐标为，点，点 为双曲线右支上为双曲线右支上 的动点，且的动点，且周长的最小值为周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（ ） ABC2D 【答案】D 【解析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点 共线，求出 a 的值，再求出离心率即可. 【详解】 由题易知双曲线的右焦点，即 ， 点 P 为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知 所以周长为： 当点共线是，周长最小 即解得 故离心率 故选 D 【点睛】 本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题. 12若函数若函数在区间在区间上有两个极值点上有两个极值点，则实数，则实数 的取值范围的取值范围 10 是（是（ ） ABCD 【答案】D 【解析】求出,要使恰有 2 个正极值点，则方程有 2 个不相等的正实 数根，即有两个不同的正根，的图象在 轴右边有两个不同的交点，利用导 数研究函数的单调性，由数形结合可得结果. 【详解】 ，可得, 要使恰有 2 个正极值点， 则方程有 2 个不相等的正实数根， 即有两个不同的正根， 的图象在 轴右边有两个不同的交点， 求得， 由可得在上递减， 11 由可得在上递增， ， 当时，；当时， 所以，当，即时， 的图象在 轴右边有两个不同的交点， 所以使函数在区间上有两个极值点， 实数 的取值范围是，故选 D. 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性与最值，考查了转化思想与数形结合思想的应用， 属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难 度大大降低，本题将极值问题转化为方程问题，再转化为函数图象交点问题是解题的关键. 二、填空题二、填空题 13已知已知满足约束条件：满足约束条件：，则，则的最大值是的最大值是_ 【答案】3 【解析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，带入求出答 案. 12 【详解】 满足约束条件：，可行域如图： 解得 由题，当目标函数过点 A 时取最大值， 即 故答案为 3 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题. 14甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会我会”，乙说：，乙说：“我不会我不会”，丙说：，丙说：“甲不会甲不会”， 如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_ 【答案】乙 【解析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案. 13 【详解】 假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会； 假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意， 假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾； 故答案是乙 【点睛】 本题主要考查了推理证明，属于基础题. 15四面体四面体中，中，底面底面，则四面体，则四面体的外接球的外接球 的表面积为的表面积为_ 【答案】 【解析】根据题意，证明出 CD平面 ABC，从而证明出 CDAC，然后取 AD 的中点 O，可得 OC=OA=OB=OD，求出 O 为外接球的球心，然后求得表面积即可. 【详解】 由题意，可得 BCCD， 又因为底面，所以 ABCD，即 CD平面 ABC，所以 CDAC 取 AD 的中点 O，则 OC=OA=OB=OD 故点 O 为四面体外接球的球心，因为 所以球半径 故外接球的表面积 14 故答案为 【点睛】 本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题. 三、解答题三、解答题 16设函数设函数. （1）当）当时，求函数时，求函数的值域；的值域； （2）中，角中，角的对边分别为的对边分别为，若，若，且且，求，求的面积的面积. 【答案】 （1）（2） 【解析】(1) 利用二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，求得 ,结合正弦函数的单调性即可求函数的值域；(2)由得， 可求出 的值，利用余弦定理求出 的值，再由三角形的面积公式可得结果. 【详解】 （1） ， 函数的值域为； 15 （2）， ，即 由余弦定理，即 又， . 【点睛】 本题主要考查二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式，考查余弦定理与三角形面积公式的应用， 属于中档题.对余弦定理要熟记两种形式：（1）；（2）， 同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记 住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 17世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达 6 亿，高中生和大学生的近视亿，高中生和大学生的近视 率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系