安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考数学文试题含答案解析

1 安徽省六安市毛坦厂中学安徽省六安市毛坦厂中学 2019 届高三届高三 3 月联考月联考 数学文试题数学文试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式得到集合 ，再和集合 求交集即可得出结果. 【详解】解不等式得，所以，又， 所以. 故选 C 【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型. 2.设（， 为虚数单位） ，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由复数的运算法则化简，再由复数相等求出，进而可求出结果. 【详解】因为，又，所以， 因此. 故选 A 【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则以及复数相等的充要条件即可，属于基础题型. 3.曲线在点处的切线经过点，则 的值为（ ） A. 1B. 2C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 对函数求导，求出，进而可得切线方程，再由切线过点，即可得出结果. 【详解】因为，所以，故，又， 所以曲线在点处的切线方程为，又该切线过点，所以 ，解得. 故选 C 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，先对函数求导，求出函数在点处的切线方程即可，属于常 考题型. 4.某位教师 2017 年的家庭总收入为 80000 元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018 年收入的各种用途占 比统计如下面的条形图，已知 2018 年的就医费用比 2017 年增加了 4750 元，则该教师 2018 年的家庭总收入 为（ ） A. 100000 元B. 95000 元C. 90000 元D. 85000 元 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据折线图求得年的就医费用，然后求得年的就医费用，这个费用除以即可求得年家 庭总收入. 【详解】由已知得，2017 年的就医费用为元，故 2018 年的就医费用为 12750 元，所以 该教师 2018 年的家庭总收入为元.故选 D 【点睛】本小题主要考查阅读分析能力，图表分析能力，考查生活中的数学问题，属于基础题. 5.已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】，得， 而. 故选 A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题. 6.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ） A. 2B. C. 4D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所有截面都是等腰三角形，根据三角形的面积公式可知，当顶角为时，面积取得最大值，由此求得最大 的截面面积. 【详解】将三视图还原，可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥，故过其顶点的截面面积 .故选 A. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥的截面面积最大值的计算，考查三角形面积公式，属 于中档题. 7.若 是从区间内任意选取的一个实数， 也是从区间内任意选取的一个实数，则点在圆 ： 内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 4 【分析】 由 是从区间内任意选取的一个实数， 也是从区间内任意选取的一个实数，可知点构成正方形 区域，求出正方形的面积以及圆 的面积，即可由面积比得出结果. 【详解】 因为 是从区间内任意选取的一个实数， 也是从区间内任意选取的一个实数，所以点的所有取 值构成边长为 4 的正方形区域，且正方形面积为； 如图所示，作出满足题意的正方形和圆， 在圆 ：内，由可得，所以，所以； 因此， 所以阴影部分面积为， 所以点在圆 ：内的概率为. 故选 C 【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记公式即可，属于常考题型. 8.函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5 【解析】 【分析】 先令求得，排除 选项.通过的值排除 A 选项.通过的值排除 D 选项.由此得到正确选项. 【详解】当时，由知，选项 C 不正确； 又因为 ，所以选项 A 不正确； 当时，故选项 D 不正确， 可知选项 B 正确.故选 B. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查特殊值法，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 9.已知直线 ：与 轴， 轴分别交于点 ， ，点 在椭圆上运动，则面积的最大值为 （ ） A. 6B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由直线方程求出点 ， 坐标，得到长度，再由椭圆方程设出点 坐标，根据点到直线距离公式，求出三角 形的高，进而可求出结果. 【详解】因为 ：与 轴， 轴分别交于点 ， ，所以，因此， 又点 在椭圆上运动，所以可设， 所以点 到直线 的距离为(其中)， 所以. 故选 D 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，需要用到点到直线距离公式等，属于常考题型. 10.已知锐角的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且，三角形的面积，则的取 值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 6 根据三角形的面积求得边上的高，设，用勾股定理求得的表达式，利用二次函数 求值域的方法求得的取值范围. 【详解】设边上的高为， 则，则.以为直径作圆，显然 在圆外，故为锐角，又 、 为锐角，设，因 为已证为锐角，所以 的取值因 ， 为锐角限定，所以，所以 ，对称轴为，由，对称轴时取得最小值，两端是最大值（不能取得） ，可得 的取值范围为.故选 D. 【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查勾股定理，考查二次函数求值域的方法，属于中档题. 11.在中，过的中点 作平面的垂线，点 在该垂线上，当 时，三棱锥外接球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先由，可得，因此 为底面外接圆圆心，所以外接球球心在上，记球心 为 ，连结，即可结合勾股定理求解. 【详解】因为，所以，因此 为底面外接圆圆心，又因为平面， 所以外接球球心在上，记球心为 ，连结，设球的半径为 ，则， 所以，又，所以在中，即，解得. 故选 D 7 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型. 12.已知双曲线 ：的左，右焦点分别为，右顶点为 ，以 为圆心，（ 为坐 标原点）为半径的圆与双曲线 在第一象限的交点为 ，若，且，则双曲线 的离心率 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由题意得到，求出，再由双曲线的定义结合求出，两式相等， 即可求出结果. 【详解】由题意可得，因为，所以，又因点 在双曲线的右支上，所以，因为，所以；因此，即 ，所以，解得，因为，所以. 故选 A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.已知向量，若向量与向量 共线，则实数 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量 共线，即可求出结果. 8 【详解】因为向量，所以；又，向量与向量 共线，所以，解得. 故答案为 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型. 14.我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五 千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出 500 人服役，则北乡比南乡多抽 _人 【答案】60 【解析】 【分析】 先由题中数据求出抽样比，确定每乡抽取的人数，进而可求出结果. 【详解】由题意可得，三乡共有人，从中抽取 500 人，因此抽样比为 ，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以 北乡比南乡多抽人. 故答案为 【点睛】本题主要考查分层抽样，只需依题意确定抽样比即可求解，属于基础题型. 15.若 ， 满足约束条件，则的取值范围为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先由约束条件作出可行域，再由目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，结 合图像即可得出结果. 【详解】由约束条件作出可行域如下： 9 因为目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，所以由图像可得或 ，由解得；由解得； 所以，因此 的取值范围是. 故答案为 【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义即可求解， 属于基础题型. 16.已知函数，函数是定义域为 的奇函数，且，则的值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 先由题意求出，再由是定义域为 的奇函数，求出，进而可求出结果. 【详解】因为，所以，即， 又函数是定义域为 的奇函数，所以， 因此. 故答案为 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，熟记函数奇偶性定义即可，属于基础题型. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，题为必考题， 10 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。 17.已知等差数列的前 项和为，公差为. （1）若，求数列的通项公式； （2）是否存在 ， 使成立？若存在，试找出所有满足条件的 ， 的值，并求出数列的通项公式； 若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据，求出 ，即可求出结果； （2）由等差数列的前 项和公式和，先得到，再分别取以及 ，逐一验证即可得出结果. 【详解】解：（1）当时，由， 得， 解得， 所以. 所以数列的通项公式为. （2）由题可知, 由，得, 即， 所以. 令时，得不存在； 时，得符合. 此时数列的通项公式为； 时，得不符合； 时，得符合， 此时数列的通项公式为； 时，得符合. 此时数列的通项公式为； 11 时，得不符合，时，得不符合； 时，得不符合，时，均不符合， 所以存在 3 组，其解与相应的通项公式分别为 ，； ，； ，. 【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式以及前 项和公式即可求解，属于常考题型. 18.如图（一） ，在直角梯形中， 是的中点，将沿折起， 使点 到达点的位置得到图（二） ，点为棱上的动点. （1）当在何处时，平面平面，并证明； （2）若，证明：点 到平面的距离等于点到平面的距离，并求出该距离. 【答案】 （1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先判断出点为棱中点时，平面平面；再根据面面垂直的判定定理即可得出结论成立； （2）先由(1)得到平面平面，且交线为，再过点作交的延长线于点 ，从而可 得就是点到底面的距离，最后由，即可求出结果. 【详解】解：（1）当点为棱中点时，平面平面. 证明如下： 在图（一）的直角梯形中， 是的中点， 所以. 在图（二）中，有，平面，平面， 所以平面. 又平面， 所以. 12 又，所以. 由于， 为的中点， 所以. 又因为，平面，平面， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. （2）图（一）中，由及条件关系， 得， 由（1）的证明可知，在图（二）中有平面. 所以平面平面，且交线为， 所以过点作交的延长线于点 ， 由平面平面，可知平面， 所以就是点到底面的距离. 由知， 所以. 设点 到平面的距离为 ， 由， 得 ， 即， 即得点 到平面的距离等于点到平面距离，且为. 【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，以及点