福建省2019届高三3月模拟数学（文）试题含答案解析

1 福建省厦门第一中学福建省厦门第一中学 20192019 届高三届高三 3 3 月模拟月模拟 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式求出集合 A，求定义域得出 B，再根据交集的定义写出 AB 【详解】集合 Ax|x23x+20x|1x2， Bx|ylg（3x）x|3x0x|x3， 则 ABx|1x2 故选：A 【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目 2.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据双曲线的渐近线方程得到 a，b 的关系，再根据离心率公式计算即可 【详解】双曲线1（a0，b0）的一条渐近线为， ， 双曲线的离心率为 e 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力， 2 属于基础题 3.中国将于今年 9 月 3 日至 5 日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有 5 人负 责接待，其中 3 人担任英语翻译，另 2 人担任俄语翻译.现从中随机选取 2 人，恰有 1 个英语翻译，1 个俄 语翻译的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用古典概率计算公式计算即可 【详解】从 5 人中随机选 2 人的基本事件总数为恰有 1 个英语翻译，1 个俄语翻译的事件总数为 P（恰有 1 个英语翻译，1 个俄语翻译）， 故选：C 【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用任意角的三角函数的定义求得 tan 的值，再利用两角差的正切公式求得 tan（）的值 【详解】角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点（，2） ， tan，则 tan（）3， 故选：A 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键， 属于基础题 5.我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长 一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？” （蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物） 3 现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，输入，.那么在 处应填（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意由两种植物生长长度的规律结合框图，即可求解 【详解】由题意， S 表示莞高，T 表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故处应填 S2T？ 故选：B 【点睛】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，比较基础，读懂程序的功能是关键. 6.实数 ， 满足，则的最大值为（ ） A. 3B. 4C. 18D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，结合函数的图象求出 z 的最大值即可 【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示： ， 由，解得 A（3，4） ， 4 由 z4x+3y 得 l：yxz，平移 l 结合图象得直线 l 过 A（3，4）时，z 最大， z 的最大值是 24， 故选：D 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，准确画出可行域，确定最优解是关键，是一 道中档题 7.定义在 上的连续函数，当时，函数单调递增，且函数的图象关于 直线对称，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的对称性得到函数 f（x）是偶函数，根据 f（2）0，问题转化为|2m|2，求出 m 的范围即 可 【详解】函数 yf（x1）的图象关于直线 x1 对称， 即函数 yf（x）的图象关于 y 轴对称，故函数 f（x）是偶函数， 而 f（2）0，故 f（2m）0，即 f（2m）f（2）,由题意知函数为增函数，故|2m|2，解得： m4 或 m0， 故选：C 【点睛】本题考查了函数奇偶性，考查转化思想以及函数的单调性，熟练运用函数的奇偶性和单调性解不等 5 式是关键,是一道中档题 8.在平行四边形中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示化简， ,再结合数量积运算，即可求出答案 【详解】如图所示， 平行四边形 ABCD 中，AB3，AD2， ， ， 若12， 则（）（） 32223×2×cosBAD12， cosBAD，又BAD（0， ） BAD 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量基本定理，平面向量的数量积运算，将向量表示为是关键，基 础题目 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则 6 该四棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据四棱锥的三视图知该四棱锥为底面为矩形，高为的四棱锥，放入长方体，设该四棱锥的外接球球心为 O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积 【详解】根据四棱锥的三视图，知该四棱锥为底面为矩形，高为的四棱锥； 且侧面 PAB底面 ABCD，如图所示； 放入长方体（图 2 所示） ，长方体的长 CD=2，宽为，高为 设该四棱锥的外接球球心为 O，则 过 O 作 OM平面 PAB，M 为PAB 的外心， 作 ON平面 ABCD，则 N 为矩形 ABCD 对角线的交点； OM，ON； 外接球的半径满足 R2ON2+AN2， 外接球的表面积为 S4R24 故选：A 【点睛】本题考查了由空间几何体三视图，外接球问题，准确还原几何体，将四棱锥放到长方体中是关键， 7 是综合性题目 10.已知抛物线 ：的焦点为 ，准线为 ， ， 是 上两动点，且（ 为常数） ，线段 中点为，过点作 的垂线，垂足为 ，若的最小值为 1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图，过点 A，B 分别作准线的垂线 AQ，BP，垂足分别是 Q，P 设|AF|=a，|BF|=b，连 AF，BF 由抛物线定义得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b 在中，由余弦定理得 ，当且仅当，即时等号成立 的最小值为 1， ，解得， 选 C 点睛： （1）抛物线定义在解题中的两个应用：当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点 M 满足定义，它到准线 的距离为 d，则|MF|d，利用此结论可解决有关距离、最值、弦长等问题当动点满足的几何条件符合抛 物线的定义时，可根据定义得到动点的轨迹是抛物线，进而可求得抛物线的方程 （2）应用基本不等式求最值时，一定要注意不等式使用的条件，当所给式子不满足条件时需要通过变形得到 所需要的形式，然后再用不等式求解 8 11.已知数列的前 项和为，直线与圆交于，两点，且 .若对任意恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知得到关于数列an的递推式，进一步得到Sn+2是以+2 为首项，2 为公比的等比数列求出数列an的 前 n 项和为 Sn，进一步求得数列an的通项，然后利用错位相减法求得，代入 an2+2，分离参数 ，求出的最大值得答案 【详解】圆心 O（0，0）到直线 yx2，即 xy20 的距离 d2， 由 d2r2，且， 得 22+Sn2an+2，4+Sn2（SnSn1）+2， 即 Sn+22（Sn1+2）且 n2； Sn+2是以+2 为首项，2 为公比的等比数列 由 22+Sn2an+2，取 n1，解得2， Sn+2（+2）2n1，则 Sn2n+12； （n2） 2 适合上式， 设 ， ， 所以 . 所以，若对任意恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立. 设，因为，所以，故的最大值为 9 因为，所以. 故选:B 【点睛】本题考查数列通项公式，数列求和，数列的最值，不等式恒成立问题，考查数学转化思想方法，训 练了利用错位相减法求数列的前 n 项和，考查直线与圆的位置关系，是中档题 12.已知 ， 为动直线与和在区间上的左，右两个交点， ， 在 轴 上的投影分别为 ， .当矩形面积取得最大值时，点 的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意知，P 与 Q 关于直线对称，设 P（x，sinx） ，则矩形 PQRS 的面积为 S（x）（2x） sinx， （0x） ，再利用导数求得矩形面积 S（x）的最大值，结合零点存在定理和得的范围 【详解】由题意知， 与 关于直线对称，设，则， ， ，在区间上单调递减， 且，在区间存在唯一零点，即为. 令得：，即. 由不等式得：，解得：， 故选：A. 【点睛】本题考查函数与导数综合,零点,不等式等，三角函数的图象与性质,考查数形结合思想、转化与化 归思想，考查逻辑推理能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.复数 满足（ 为虚数单位） ，则 的共轭复数为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由复数代数形式的除法运算得 z,再由共轭复数得答案 10 【详解】由得 z， 故答案为： 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，准确计算是关键，是基础题 14.是等差数列，其前 项和为，的最大值为_ 【答案】30 【解析】 【分析】 设等差数列an的公差为 d，根据，可得 3d15，3+6d15，解得 d，令，解得 n，进而得出的最大值 【详解】设等差数列an的公差为 d， 3d15，3+6d15， 解得 d5，15 an155（n1）205n， 由解得 3n4 则的最大值为3×1530 故答案为：30 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，数列和的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题 15.直三棱柱中，直线与平面所成角等于，则三棱 柱的侧面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，B，60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱 ABC的侧面积 【详解】由题意，面B，60°，B，AB ， 11 三棱柱 ABC的侧面积为（2）×1， 故答案为 【点睛】本题考查三棱柱的侧面积，线面位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题 16.若实数 ， ， 满足，则的最小值是_ 【答案】1 【解析】 【分析】 （a2b1）2+（aclnc）20，可得 a2b+1，ac+lnc.，得,故|bc|， 令 f（c）1+clnc（c0） ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可求解 【详解】（a2b1）2+（aclnc）20，a2b+1，