江苏省南京2019届高三第一学期期中考试数学试卷含答案解析

2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、填空题1设集合Axlog2x<2，B1，0，1，2，4，则AB_2已知复数z=(1+i)(1+3i)，其中i是虚数单位，则z的值是_3已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_4从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_5如图是一个算法的流程图，则输出a的值是_6在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，则实数p的值为_7已知sin(x+4)=35，则sin2x_8设a0，若an且数列an是递增数列，则实数a的范围是_9在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+bx(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，则2a3b的值是_10若函数f(x)=-12x2+4x-3lnx在t,t+1上不单调，则t的取值范围是_11如下图，在中，若，则_12已知函数f(x)=2x+1，x0lnx，x>0，则关于x的方程ff(x)=3的解的个数为_13已知正数a，b，c满足b2+2(a+c)b-ac=0，则ba+c的最大值为_14若存在正数x，y，使得(y-2ex)(lny-lnx)s+x=0，其中e为自然对数的底数，则实数s的取值范围是_二、解答题15如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD平面ABCD，M为PC中点求证：（1）PA平面MDB；（2）PDBC16已知(0，2)，(2，)，cos=-13，sin(+)=4-26（1）求tan2的值；（2）求的值17如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成RtFHE，H是直角项点)来处理污水管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上已知AB20米，AD103米，记BHE（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；（2）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L18在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2(如图)（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线y+3=0交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2mk为定值（图1）（图2）19设函数f(x)=exx3-3kx-klnx，其中x0，k为常数，e为自然对数的底数（1）当k0时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k，存在x0(x0>0)，使得f(x)在区间(x0，+)上单调递增20若数列an同时满足：对于任意的正整数n，an+1an恒成立；若对于给定的正整数k，an-k+an+k=2an对于任意的正整数n(nk)恒成立，则称数列an是“R(k)数列”（1）已知an=2n-1，n为奇数2n，n为偶数，判断数列an是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列bn是“R(3)数列”，且存在整数p(p1)，使得b3p-3，b3p-1，b3p+1，b3p+3成等差数列，证明：bn是等差数列21二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)（1）求矩阵M的逆矩阵M-1；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程22在极坐标系中，设圆=3上的点到直线(cos+3sin)=2的距离为d，求d的最大值23如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OBOC2，E是OC的中点（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角ABEC的余弦值24已知fn(x)=(1+x)n，nN*（1）若g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；（2）若pn是fn(x)展开式中所有无理项的系数和，数列an是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：pn(a1a2an+1)(1+a1)(1+a2)(1+an)12019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学答案参考答案11，2【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合Axlog2x<2=x0x<4，又B1，0，1，2，4AB1，2【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题225【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=13+4i=2+4i，|z|=(-2)2+42=25故答案为：25【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题34【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数x=15(2+4+5+6+8)=5，这组数据的方差S2=15（25）2+（45）2+（55）2+（65）2+（85）2=4故答案为：4【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用4310【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有C52=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有C32=3种选法，2名都是女同学的概率为310故答案为：310【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数510【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】当a=1，b=12时，不满足ab，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足ab，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满足ab，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足ab，故输出的a值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答62【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），即可求出p值【详解】x24+y23=1中a2=4，b2=3，c2=1，c=1右焦点坐标为（1，0）抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），p2=1，则p=2故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题7725【解析】【分析】利用sin2x=-cos（2x+2）=2sin2（x+4）-1即可得到结果.【详解】sin(x+4)=35，sin2x=-cos（2x+2）=2sin2（x+4）-1=18251=-725，故答案为：725【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键82a3【解析】由an是递增数列，得解得2a398【解析】【分析】由曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线2x7y+3=0垂直，可得y|x=2=5，且y|x=2=72，解方程可得答案【详解】直线2x7y+3=0的斜率k=27，切线的斜率为72，曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线2x7y+3=0垂直，y=2axbx2，4a+b2=-54a-b4=-72，解得：a=1，b=2，故2a3b =8，故答案为：8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=5，且y|x=2=72，是解答的关键100<t<1或2<t<3【解析】此题考查导数的应用；f'(x)=-x+4-3x=-x2-4x+3x=-(x-1)(x-3)x，所以当x(0,1),(3,+)时，原函数递增，当x(1,3)原函数递减；因为在t,t+1上不单调，所以在t,t+1上即有减又有增，所以0<t<11<t+1<3或1<t<33<t+10<t<1或2<t<311【解析】因为,又因为，所以，也即，所以，又，故，由余弦定理得，则，应填答案。点睛：本题综合考查向量的几何运算法则、数量积公式、余弦定理等许多重要基础知识和基本方法，同时也考查了等价转化与化归、函数方程等重要数学思想的综合运用。125【解析】由题意得，2fx+1=3或lnfx=3，即fx=1（舍去）或fx=e3或fx=e-3，若fx=e3，则2x+1=e3或lnx=e3，故x=e3-12（舍去）或x=ee3或x=e-e3，若fx=e-3，则2x+1=e-3或lnx=e-3，故x=e-3-12或x=ee-3或x=e-e-3，故方程ffx=3，共有5个解，故答案为5.135-22【解析】【分析】利用求根公式得到b=-2a+c+4a+c2+4ac2，表示目标ba+c=-1+1+aca+c2，借助均值不等式求最值.【详解】b2+2(a+c)b-ac=0b=-2a+c+4a+c2+4ac2，ba+c=-a+c+a+c2+aca+c=-1+a+c2+aca+c=-1+1+aca+c2，=-1+1+1ac+ca+25-22，当且仅当a=c时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为