2019届河北省五个一名校联盟高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题含答案解析

1 2019 届河北省五个一名校联盟高三下学期第一次诊断考试届河北省五个一名校联盟高三下学期第一次诊断考试 数学（文）试题数学（文）试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合，那么，那么（ ） A B C D 【答案】C 【解析】求出N中x的范围确定出N，找出与N的交集即可 【详解】 由N中y，得到 1x0，即x1， Nx|x1， Mx|2x2， x|x2, (x)0, g(x)单调递增；0 故答案为 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题. 16在如图所示的四边形区域在如图所示的四边形区域中，中，,现园林绿化师计划在区域现园林绿化师计划在区域 外以外以为边增加景观区域为边增加景观区域,当当时，景观区域面积的最大值为时，景观区域面积的最大值为_. 10 【答案】 【解析】连接 AC,得 AD= 【详解】 连接 AC,知为等腰三角形，且,AC= ab,即 absin 故答案为 【点睛】 本题考查余弦定理，基本不等式求最值，是中档题. 三、解答题三、解答题 17已知正项数列已知正项数列是公差为是公差为 的等差数列，且的等差数列，且是是与与的等比中项的等比中项. （1）求数列）求数列的通项公式；的通项公式； （2）若）若，求数列，求数列的前的前 项和项和. 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】 （1）数列是公差为 的等差数列， 又是与的等比中项， ， 解得舍掉） 故数列的通项公式为 ， 11 【点睛】 本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数 18进入进入月份，香港大学自主招生开始报名，月份，香港大学自主招生开始报名， “五校联盟五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有 参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图： （1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；）估计五校学生综合素质成绩的平均值； （2）某校决定从本校综合素质成绩排名前）某校决定从本校综合素质成绩排名前 名同学中，推荐名同学中，推荐 人参加自主招生考试，若已知人参加自主招生考试，若已知 名同学中有名同学中有 名名 理科生，理科生，2 名文科生，试求这名文科生，试求这 2 人中含文科生的概率人中含文科生的概率. 【答案】(1) 平均值为 (2) 【解析】 （1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从 6 人中选出 3 人，所有的可能 的结果共 20 种， 含有文科学生的有 16 种，求解即可. 【详解】 （1）依题意可知： ， 所以综合素质成绩的的平均值为. （2）设这 名同学分别为其中设为文科生， 12 从 6 人中选出 3 人，所有的可能的结果 共 20 种， 其中含有文科学生的有 16 种 所以含文科生的概率为. 【点睛】 本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确. 19如图，在三棱锥如图，在三棱锥中，中，面面， BAC=，且，且=1，过，过 点作平面点作平面，分别交，分别交 于于点点. （1）若）若求证：求证：为为的中点；的中点； （2）在（）在（1）的条件下，求点）的条件下，求点 到平面到平面的距离的距离 【答案】(1)见证明(2) 【解析】 （1）取中点 ，连接,证明面，进而，；（2）利用 等体积转化即可. 【详解】 （1）取中点 ，连接 13 ， 面， ，又 为的中点，为的中点 （2）设点 到平面的距离为 ， 为的中点， 又， 又，AM=， 可得边上的高为， 由 h= 【点睛】 本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键. 20已知动圆已知动圆 过定点过定点,且在且在 轴上截得的弦长为轴上截得的弦长为 ，设该动圆圆心的轨迹为曲线，设该动圆圆心的轨迹为曲线 . （1）求曲线）求曲线 的方程；的方程； （2）直线）直线过曲线过曲线 的焦点的焦点 ，与曲线，与曲线 交于交于 、 两点，且两点，且,都垂直于直线都垂直于直线，垂足分别为，垂足分别为， 直线直线与与 轴的交点为轴的交点为 ,求证求证为定值为定值. 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 （1）设动圆圆心坐标为 C(x,y)，由题意得，能求出曲线方程；（2）设 14 代入 【详解】 （）设动圆圆心坐标为 C(x,y)，根据题意得 ， 化简得 （）设，,由题意知的斜率一定存在设， 则，得所以， ， 又 = 【点睛】 本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意 21已知函数已知函数 （1）讨论函数）讨论函数的单调性；的单调性； （2）令）令，若对任意的，若对任意的，恒有，恒有成立，求实数成立，求实数 的最大整数的最大整数. 【答案】 （1）见解析（2）7 【解析】 （1）（2）由 成立转化 为，分离 k,构造函数求最值即可. 【详解】 15 （1）此函数的定义域为， （1）当时， 在上单调递增， （2）当时， 单调递减， 单调增 综上所述：当时，在上单调递增 当时， 单调递减， 单调递增. （2）由（）知 恒成立，则只需恒成立， 则 ， 令则只需 则 单调递减， 单调递增， 即的最大整数为 【点睛】 本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为 是关键. 22选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系在平面直角坐标系中，直线中，直线 过点过点，且倾斜角为，且倾斜角为 ，以坐标原点，以坐标原点 为极点，为极点， 轴的正半轴为极轴建立极轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线坐标系，曲线 的极坐标方程为的极坐标方程为 (1)写出直线写出直线 L 的参数方程及曲线的参数方程及曲线 C 的直角坐标方程；的直角坐标方程； （2）若直线）若直线 与曲线与曲线 交于交于两点，且弦两点，且弦的中点为的中点为求求的值的值. 【答案】(1) (2)2+2 【解析】(1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（2）将直线参数方程公式代入圆 16 的普通方程，利用韦达定理及中点参数 【详解】 (1)直线 的参数方程为：为参数） ， 曲线 的直角坐标方程为： （2）直线 的参数方程代入 得： 【点睛】 本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题，注意弦中点参数 t= 23选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数已知函数 (1)解关于解关于 的不等式的不等式 (2) 若若, 的解集非空，求实数的解集非空，求实数的取值范围的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出， 找出不等式的解集，第二步写出关于 的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根 据“极值原理” ，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围. 试题解析： （1）原不等式可化为： 即：或 由得或 由得或 综上原不等式的解为或 （2）原不等式等价于的解集非空， 17 令，即， 由，所以， 所以. 【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式： ，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三 种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的 通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.