江西省南康中学2018-2019学年高二下学期期中考试（第二次大考）数学（理）试题附答案

- 1 - 南康中学南康中学 20182019 学年度第二学期高二第二次大考学年度第二学期高二第二次大考 数学（理科）试卷数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1设，则在复平面对应的点位于第 ( )象限 3 1 i zi i z A一 B二 C三 D四 2 “”是“”的( ) 1x0) 1ln(x A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3曲线在处的切线的倾斜角是（ ） 3 3 ( )ln 3 f xxxx 1x A B C D 6 3 2 3 5 6 4. 二项式的展开式的常数项为（ ） 5 6 1 x x x A -5 B5 C. -10 D10 5. 用 0、1、2、3、4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数共有 （ ） A36 个 B.72 C.48 D.60 6函数的大致图像为（ ）3 ,3sincos)(xxxxxf在 7. 已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为 为椭圆上一动点, 面 22 22 :1(0) xy Cab ab 12 ,F FM 12 FMF 积的最大值为，则椭圆的离心率为（ ） 1 2 ab A. B.1 C. D. 1 2 3 5 31 - 2 - E O DC BA y x 8. 已知中，则为（ ）ABCtan(sinsin)coscosACBBCABC A等腰三角形B的三角形60A C等腰三角形或的三角形D等腰直角三角形60A 9. 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的1 排法种数是（ ） A. B. C. D. 72120144168 10.某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形， 则该四棱锥的体积为 （ ） A2 B 2 2 3 C. D 8 3 4 3 11. 已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交:C 22 22 1 xy ab 0a 0b 2 2ypx0p 于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的外接ABOC2AOB3AOB 圆半径为( ) ABC2D31312 33 12. 已知函数.若过点存在 3 条直线与曲线相切，则 的取值范围为( ) 3 ( )23f xxx(1, )Pt( )yf xt A. B. C. D. () 3 ，3, 1()1，0,1 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则至少选中一名男生的选法种数 是_ 14. 如图所示，在正方形内，随机投入一个质点，ABCD 则所投质点恰好落在与轴及抛物线所CEy 2 yx 围成的区域内的概率是_ 15. 已知， 223344 22, 33,44, 33881515 ,则与的值分别为_66( ,) aa a bR bb ab - 3 - 16.已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数” ； f x0, f x y x 0, f x 若在上为增函数，则称为“二阶比增函数” 。我们把所有“一阶比增函数”组成 2 f x y x 0, f x 的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为若函数，且 1 2 32 2f xxhxhx ，则实数的取值范围是_ 1 f x 2 f x h 三、解答题 （共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. .（本题满分 10 分）已知函数 3 ( )31f xxax ，a R . （1）若a4，求的单调区间； ( )f x （2）若在 1x 处取得极值，直线 ym 与 ( )yf x 的图象有三个不同的交点，求m的取值范 ( )f x 围 18.（本题满分 12 分）在等差数列an中，a13，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b11， 公比为q(q1)，且b2S212，q. S2 b2 (1)求an与bn； (2)证明： b0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个 x2 a2 y2 b2 焦点的连线构成斜边为 2 的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)动直线l:交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面330(,)mxnynmR nR m n不全为零 上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由。 22. （本题满分 12 分）已知函数 2 ln2f xaxaxx （1）求函数的单调区间； f x （2）若对于任意，恒有成立，试求的4,10a 12 ,1,2x x 12 1212 f xf x xxx x 取值范围 - 5 - 南康中学 20182019 学年度第二学期高二第二次大考 数学（理科）参考答案 一、选择题：1-5DBCBD 5-10AACBD 11-12CB 12. 解析 设函数上任意一点， 3 23f xxx 00 ,xf x 在点处的切线方程为,即. 00 ,xf x 000 yf xfxxx 32 0000 2363yxxxxx 若过点，则 1,t 3232 000000 2363 1463 txxxxxx 依题意，方程有三个不等实根. 令，得 32 463g xxx 2 12121210gxxxx x ，. 1 0x 2 1x 当时，函数在上单调递减； ,0 , 1,x 0gx g x ,0 , 1, 当时，函数在上单调递增.0,1x 0gx g x0,1 因此的极小值为,极大值为.若有三个不等实根，故. g x 03g 11g tg x31t 二、填空题：13.7 14. 15. 6，35 16. 1 6 ,0 三、解答题： 17.解： 32 ( )121,( )3123(2)(2)f xxxfxxxx 当或时， 2x 2x ( )0fx 当时， 22x ( )0fx 所以的单调递增区间是和，的单调递减区间是 ( )f x(,2)(2,)( )f x( 2,2) 因为f(x)在x1 处取得极值，所以f(1)3×(1)23a0，所以a1.所以f (x) x33x1，f(x)3x23.由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性，可知f(x)在 x1 处取得极大值f(1)1，在x1 处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有 三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性，可知m的取值范围是(3,1) 18. 解 (1)设an的公差为d，因为Error!所以Error! 解得q3 或q4(舍)，d3. 故an33(n1)3n，bn3n1 (2)证明：因为Sn，所以. n33n 2 1 Sn 2 n33n 2 3( 1 n 1 n1) - 6 - 故 1 S1 1 S2 1 Sn . 2 3(1 1 2)( 1 2 1 3)( 1 3 1 4)( 1 n 1 n1) 2 3(1 1 n1) 因为n1，所以0，x1x2，x1x2，8 分 12k 18k29 16 18k29 (x1，y11)，(x2，y21)， QA QB ·x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2(x1x2) QA QB 4k 3 16 9 (1k2)··0，10 分 16 918k2 4k 3 12k 918k2 16 9 ，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1). 12 分 QA QB - 8 - 22.解析：（1）函数的定义域为，0, ， 2 2221 22 xaxaxaxa fxax xxx 当时，函数在上单调递减，在上单调递增；0a 0,11, 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；02a0, 1, 2 a ,1 2 a 当时，函数的上单调递增；2a 0, 当时，函数在上单调递增，在上单调递减2a 0,1 , 2 a 1, 2 a （2）恒成立，即恒成立， 12 1212 f xf x xxx x 12 12 11 f xf x xx 不妨设，因为当时，在上单调递减，则，可 21 xx4,10a f x1,2 12 12 11 f xf x xx 得，设， 12 12 f xf x xx 2 ln2g xf xaxaxx xx 对于任意的，恒成立，在4,10a 12 ,1,2x x 2112 ,xx g xg x g xf x x 上单调递增，在上恒成立，1,2 32 22 2122 0 xaxxaxax gx xxx 1,2x 在上恒成立， 32 220xaxax1,2x 即在上恒成立， 232 220axxxx1,2x 当时， 只需在上恒成立，即1,2x 2 0xx 232 10220xxxx1,2x 在上恒成立， 32 212100xxx1,2x 设，则， 32 21210h xxxx 2120h ，故实数的取值范围为1212,