2017全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）附答案解析

绝密启封前2017全国卷高考压轴卷理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分.考试时间为120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若集合表示实数集，则下列选项错误的是ABCD2.复数在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（）A B C D3.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个6点”，则条件概率P（A|B）是（）A.12 B.518 C.6091 D.902164.曲线ysinx，ycosx与直线x0，x所围成的平面区域的面积为()A (sinxcosx)dx B2 (sinxcosx)dxC (cosxsinx)dx D2 (cosxsinx)dx5.按右图所示的程序框图，若输入，则输出的()把的右数第位数字赋给是否输入输出A. 45B. 47 C. 49 D. 516九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为A10000立方尺B1 1000立方尺C12000立方尺D13000立方尺7.设是等差数列an的前n项和，若，则等于A.B.C.D.8.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（A） （B） （C） D9.已知点P满足，过点P的直线与圆相交于A、B两点，则的最小值为（）A2BCD410.已知是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率是A. B.C. D. 11数列an的通项公式为an=，关于an有如下命题：P1：an为先减后增数列；P2：an为递减数列； P3：P4：其中正确的是A. P1,P3 B. P1,P4 C. P2,P3 D. P2,P412.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R. 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则的值是（）A433aR B.-433aR C.233aR D.-233aR第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13. 的展开式中的系数为。14.已知等比数列满足，则数列的前项和为；15.已知过点的直线与椭圆相交于两点，若点是的中点，则直线的方程为.16. 设数列为等差数列，且，若，记，则数列的前21项和为_.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分） 四边形如图所示，已知，.（1）求的值；（2）记与的面积分别是与，求的最大值.18.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080X120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？19.（本小题满分12分）如图1，等腰梯形中，。取线段中点，将沿折起，如图2所示。（）当平面折到与底面所成的二面角为时，如图3所示，求此时二面角平面角的余弦值。（）在将开始折起到与重合的过程中，求直线与平面所成角的正切值的取值范围。DABCEABCED图1图2ABCED图320.（本小题满分12分）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值。21.（本小题满分12分）已知函数(I) 当=1时，求证：（其中e为自然对数的底数）(II) 设函数存在两个极值点，并记作，若，求正数的取值范围；请考生在（22）、（23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知点P的直角坐标是(x，y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点P的极坐标是(，)，点Q的极坐标是(，+)，其中是常数设点Q的平面直角坐标是(m，n) (I)用x，y，表示m，n； ()若m，n满足mn=1，且=，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程23.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知a，b，c>0，a+b+c=1求证：(I)； (II).2017全国卷高考压轴卷理科数学1. 进一步加强对数学“双基”即基本知识，基本技能的考查，强调数学思想方法的应用，注重数学能力的考查.2. 全国卷采用12个选择题，4道填空题，5道必选题，另外加后面的2选1（极坐标与参数方程，和绝对值不等式两道题目中选做其中一道），共150分，用时2个小时.3. 2017年新考纲变化有：（1）注重数学文化的考查；（2）试卷最后的选做题由原来的2选1变成2选1，删掉了平面几何的选考.4. 本押题卷严格按照新课标要求的高考考点和题量、分值出题，严格遵照新考纲要求，体现考纲遍变化，注重双基考查，体现数学文化与数学能力的理解与应用。出题新颖，部分题目为原创试题.题号123456789101112答案BDCDDABADCCB13._6_ 14._15 ._ 16 ._ 21_1. 考察集合关系及指数函数的值域为容易题。参考：2013课标12. 考察复数的基本运算，及复平面关系为容易题.3. 考察概率的基本运算及条件概率。参考2013课标1卷19题2016年课标2卷18题4. 考察三角函数图像问题以及定积分的意义。参考2010年新课标1卷5. 考察算法，本题是计算进制转换的一个程序。6. 考察立体几何空间想象能力和还原三视图，对数学文化的了解。参考2012年课标1卷7题，2015年新课标1卷。7. 等差数列的基本性质，前n项和的性质。参考2013年课标1卷数列的选择题8. 平面向量的三角形关系转化。命题参考2014年新课标1文7理15，2015年新课标1理科第7题9. 考察线性规划的知识与圆的位置关系相结合。命题参考2016年课标1文15题10. 考察双曲线的基本定义和三角形几何性质的意义。命题参考2012年新课标1理科4，2014年新课标1理科10等11. 考察数列的单调性，分析归纳猜想能力，借用函数研究数列。命题参考2013年理1212. 考察立体几何球面关系及三角形性质。命题参考2012年新课标1理科1113. 二项式定理展开问题。命题参考2015年新课标114. 等比数列的相关性质及求和问题。2013年理科1415. 直线与椭圆的关系，中点弦问题点差法解决，命题参考2010年新课标1理12，2013年新课标1理科1016. 三角函数基本性质，数列求和问题，函数对称性的研究，命题参考2011年新课标1理科12，2013年新课标1理科16.部分试题解析3.解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为6×6×6-5×5×5=91，“三个点数都不相同”则只有一个6点，共C31×5×4=60种，P（A|B）=；4.解析当x时，ysinx与ycosx的图像的交点坐标为，作图可知曲线ysinx，ycosx与直线x0，x所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线ysinx，ycosx与直线x0，x所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线ysinx，ycosx与直线x，x所围成的平面区域的面积且这两部分的面积相等，结合定积分的定义可知选D.5.经计算得7解析：，得,成等差数列，=也可利用直接法，但计算量较大。8 解析：为边中点,，,即，9.【解析】不等式组所表示的平面区域为及其内部，其中，,，且点,均在圆的内部，故要使得最小，则，故选D.10.不妨设点在双曲线右支，分别为左，右焦点，有，由，可得，由知，的最小内角为，从而为直角三角形，此时双曲线离心率，故选C. 11.C首先取对数得，由此可知an的单调性与的相同，故此先研究的单调性。构造函数，通过二次求导便可研究它的单调性，进而得到数列的有界性。12.如图，右侧为该球过SA和球心的截面，由于三角形ABC为正三角形，所以D为BC中点，且，故. 设，则点P为三角形ABC的重心，且点P在AD上，因此13.解：，只需求展开式中的含项的系数：16由题意，易知关于中心对称，数列为等差数列，故，且，故数列的前21项和17.解：（1）在中，在中，所以.（2）依题