贵州省铜仁市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题附答案

- 1 - 贵州省铜仁市第一中学贵州省铜仁市第一中学 2018-2019 学年高二下学期期中考试学年高二下学期期中考试 数学（理科）试题数学（理科）试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 22 题。 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.） 1已知函数，则（ ）xxfsin2)( 0 f A 0B1 C2 D 2在下列命题中，不是公理的是（ ） A. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 B. 平行于同一个平面的两个平面相互 平行 C. 如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 3 1 0 )2(dxxex等于（ ） A. 1 B. C. D. e1e1e 4.下列说法中，正确的个数为（ ） 圆柱的侧面展开图是一个矩形； 圆锥的侧面展 开图是一个扇形； 圆台的侧面展开图是一个梯形； 棱锥的侧面为三角形 - 2 - A1 B2 C3 D4 5.已知=(-2,1,3),=(-1,2,1),若(-),则实数的值为 ( )a b a a b A. B. C. D.22 5 14 3 14 6已知底面边长为 ，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）.12 A. B. C. D. 32 3 42 4 3 7. 若函数在区间内是单调递减函数，则函数在区间内的图象 yfx 12 ,x x yf x 12 ,x x 可以是（ ） 来源:学科网 ZXXK 8正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且,N为B1B的中点,则|等于 ( ) = 1 21 A. B. C. D. 来源:学科网 ZXXK a 6 21 a 6 6 a 6 15 a 3 15 9若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有( )yf x( )yf x 性质.下列函数中具有性质的是（ ）.TT A. B. C. D.lnyxsinyxexy 3 yx 10若点 P 是曲线上任意一点，则点 P 到直线的最小值为（ ）xxyln 2 2 xy A1 B C D2 2 2 3 - 3 - 11如图，已知正三棱柱的棱长均为 2，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） 111 ABCABC 1 AB 1 BC A B 3 2 1 2 C D0 1 4 12已知)(x f 是奇函数)(xf的导函数，0) 1(f，当0x时，0)()(xfxf x，则使得 0)(xf成立的x的取值范围是（ ） A ), 1 ()0 , 1( B) 1 , 0() 1,( C) 1 , 0()0 , 1( D), 1 () 1,( 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 9090 分）分） 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 ，共，共 2020 分分) ) 13已知函数,则 的值为 .3)( 2 xxf 14. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 .xy4 3 yx 15如图，棱长为 2 的正方体中，M是棱AA1的中点， 1111 ABCDABC D 过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是_. 16设是的导数某同学经过探究发现，任意一个三次函数 ''( ) yfx '( ) yfx （）都有对称中心，其中 x0满足已知 32 ( )f xaxbxcxd0a 00 (,()xf x '' 0 ()0fx ，则_ 12 7 3 2 1 3 1 )( 23 xxxxf) 2019 2018 () 2019 3 () 2019 2 () 2019 1 (ffff 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. .） x fxf x ) 1 ()1 ( lim 0 - 4 - 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 32 ( )3f xaxbxx在处取得极值2x （1）求实数, a b的值； （2）过点作曲线)(xfy 的切线,求此切线方程)32, 0(A 18. (本小题满分 12 分) 如图，底面 是边长为 1 的正方形， ， ， （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值 . 19(本小题满分 12 分) .已知函数.0, 13)( 3 aaxxxf （1）求的单调区间;)(xf （2）若在处取得极值,直线与的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.)(xf1xmy )(xfy 20.(本小题满分 12 分) 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱 1111 PABC D 柱（如图所示），并要求正四棱柱的高 1 OO 是正四棱锥的高的 4 倍 1111 ABCDABC D 1 PO AFDEDEAF3,ABCDDE平面ABCD 60所成角为与平面ABCDBE BDEAC平面 DBEF mpomAB2,6 1 - 5 - （1）若 ，则仓库的容积是多少； （2）若正四棱锥的侧棱长为 6 m ，则当 1 PO 为多少时，仓库的容积最大？ 21 (本小题满分 12 分) 如图，四棱锥中，底面， , PABCDPAABCDBCAD/=3AB ADAC ，为线段上一点，为的中点4PABCMAD2AMMDNPC （1）证明平面；/MNPAB （2）求直线与平面所成角的正弦值ANPMN 22(本小题满分 12 分) 已知函数 2 ( )ln ,.f xxaxx aR （1）若函数( )f x在(1,(1)f处的切线垂直于y轴，求实数的值；a P A B C D O O1 A1 B1 C1 D1 P A B D C N M - 6 - （2）在（1）的条件下，求函数( )f x的单调区间； （3）若1, ( )0xf x时恒成立，求实数的取值范围a - 7 - 铜仁一中 2018-2019 学年度第二学期期中考试 高二数学（理科）参考答案 一、选择题 123456789101112 CBBCDDBABBCA 来源:学科网 ZXXK 2、填空题 13. 2 14. 4 15. 16. 4036 2 9 17.解：（1 ）是方程的两个根，, 323)( 2' bxaxxf2, 2 0323 2 bxax 由韦达定理：，解得：. 4 1 0 3 2 a a b 0 4 1 b a (2)由上可知：, 3 4 3 )(,3 4 1 )( 2'3 xxfxxxf 易知点不在函数图象上，设切点为斜率A)(xf),3 4 1 ,( 0 3 00 xxx, 3 4 3 2 0 xk 则切线方程为：即：,3 4 3 3 4 1 0 2 00 3 0 xxxxxy ,33 4 3 4 3 3 4 1 0 3 0 2 00 3 0 xxxxxxxy 过点则：切线方程为： 3 0 2 0 2 1 )3 4 3 (xxxy),32, 0(, 4,64 0 3 0 xx. 0329 yx 18.解：（1）证明：DE平面 ABCD，AC平面 ABCD， 所以 DEAC, - 8 - 又底面 ABCD 是正方形， ACBD. BDDE=D, AC平面 BDE. （2）解：DA,DC,DE 两两垂直， 以 D 为原点，DA 方向为 X 轴，DC 方向为 Y 轴，DE 方向为 Z 轴建立空间直角坐标系， 由已知可得DBE=60°， ,3 DB ED 由 AD=1，可知 BD=,DE=，AF=.26 3 6 则 A(1,0,0), F(1,0,), E(0,0,), B(1,1,0), C(0,1,0), 3 6 6 ), 3 6 , 1, 0( BF). 3 62 , 0 , 1 (EF 设平面 BDE 的一个法向量为),(zyxn 则,即 0 0 EFn BFn , 0 3 62 , 0 3 6 zx zy 令 z=则, 6).6, 2 , 4(n AC平面 BDE， 为平面 BDE 的一个法向量，CA - 9 - ),0 , 1, 1 ( CA ，来源:学+科+网 13 13 ,cosCAn 二面角 为锐角， 二面角 的余弦值为 19解:(1)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当a0, 当a0 时,由f'(x)0,解得x. aa 由f'(x)0 时,f(x)的单调增区间为(-,-),(,+),单调减区间为(-). aaa,a (2)f(x)在x=-1 处取得极值, f'(-1)=3×(-1)2-3a=0, a=1. f(x)=x3-3x-1, f'(x)=3x2-3. 由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 由(1)中f(x)的单调性可知, f(x)在x=-1 处取得极大值f(-1)=1, DBEF DBEF 13 13 - 10 - 在x=1 处取得极小值f(1)=-3. 直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合如图所示f(x)的图象可知: 实数m的取值范围是(-3,1). 20.（1） 1 2 mPO ，则 1 8 mOO 1 1 11 23 1 11 6224 m 33 P A B C DABCD VSPO ， 1 1 11 23 1 68288 m ABCD A B C DABCD VSOO ， 1 1 111 1 11 3 =312 m P A B C DABCD A B C D V VV ，故仓库的容积为 3 312 m （2）设 1 POx (m)，仓库的容积为 V x ， 则 1 4OOx (m)， 2 11 36AOx(m)， 2 11 236ABx(m)， 1 1 111 1 11 P AB C DABCD AB C D V xVV 11 1 3 ABCDABCD SPOSOO 2 13 2 36 3 xx 06x， 2 '2612Vxx 06x， 当 0,2 3x时， '0Vx ， V x 单调递增；当 2 3,6x时，