29扬帆远航

2.9 扬帆远航(不如改为见风使舵)海面上东风劲吹，帆船要从A点驶向正东方的B点(图17). 为了借助风力，船应先向东北方向前进，然后再转向东南方，才能到达B点. 现在要解决的问题是：起航时航向q(与正东方的夹角)及帆的朝向a(帆面与航向的夹角)模型分析 帆船在航行过程中既受到风通过帆对船的推力，又受到风对船体的阻力(图18). 航向 北 帆船 a 帆 风向 q A B图17 帆船航行示意图 p1 p2 p a w f1 w1 w2 q f2图18 帆船受力分析图 风对推力w分解为w = w1 + w2，其中w1垂直于帆，w2平行于帆. w1又分解为w1 = f1 + f2，f1即为风在航向上的推力. 风的阻力p分解为p = p1 + p2，其中p1为风在航向上的阻力. 因为f1和p1的方向相反，所以船受到的净推力为f1 - p1. 按照流体力学的知识，在航行速度不大的情况下，航速与净推力成正比. 于是航向q和帆的朝向a的确定，应该使船在正东方向的速度，即净推力在正东方向的分力达到最大. 模型假设 记帆的迎风面积为s1，船的迎风面积为s2. 1. 风通过帆对船的推力w与s1成正比，风对船的阻力p与s2成正比，比例系数相同(记作k)，且s1远大于s2; 2. w的分力w2与帆面平行，可以忽略; 3. 分力f2和p2垂直于船身，可以被船舵抵消，不予考虑; 4. 船速v与净推力f = f1 - p1成正比，比例系数记作k1. 模型建立 根据模型假设和图18表示的各个力之间的几何关系，容易得到w = ks1, p = ks2 (1)w1 = wsin(q - a), f1 = w1sina = wsin(q - a)sina (2)注：课本p45上误为f1 = w1sinq = wsin(q - a)sinq (2)p1 = pcosq (3)v = k1(f1 - p1) (4)记船在正东方向的速度分量为v1，则v1 = vcosq = k1(f1 - p1)cosq (5)问题是确定q和a，使v1最大. 模型求解 这本来是一个二元函数的极值问题，但是由(3), (5)式知，p1与a无关，所以可先在q固定时求出a使f1最大，然后再求q使v1最大. 用初等数学的办法即可求解. 由(2)式f1可化为(利用积化和差)f1 = wcos(q - 2a) - cosq/2 (6)所以当a = q/2 (7)时f1 = w(1 - cosq)/2 (8)最大. 将(8), (3)代入(5)式锝v1 = k1 w(1 - cosq)/2 - pcosqcosq= (k1w/2)1 - (1 + 2p/w)cosqcosq (9)注意到(1)式，记k2 = k1w/2, t = 1 + 2p/w = 1 + 2s2/s1 (10)则(9)式为v1 = k2(1 - tcosq)cosq = k2t1/(4t2) - (cosq - 1/(2t)2 (11)显然cosq = 1/(2t) (12)时v1最大. 由(10)式，且由假设s1远大于s2(可得1 < t < 2)，可知1/4 < cosq < 1/2, 60° < q < 75° (cos75° = 0.2588190451) (13) 结果分析 60° < q < 75°(具体数值取决于s2/s1的值)，a = q/2，这是从A点刚出发时应取的值. 行驶中，B点将不在船的正东方，上述结论不再成立. q, a应不断调整. p1 p2 p a w f1 w1 w2A q f2 b 图18' 帆船受力分析图 B 现假设风向仍正东，AB为东偏南b角(图18')，则(5)式应为v1 = k1(f1 - p1)cos(q + b) (5)'其它参数不变，因此v1 = k2(1 - tcosq)cos(q + b)dv1/dq = k2tsin(2q + b) - sin(q + b)1. 令dv1/dq = k2tsin(2q + b) - sin(q + b) º 0，取微分得k2tcos(2q + b)(2dq + db) - cos(q + b)(dq + db) = 0dq = -dbtcos(2q + b) - cos(q + b)/2tcos(2q + b) - cos(q + b)注意在b = 0时，2q + b和q + b分别在第II象限和第I象限，故|b|很小时，dq与db异号且|dq| < |db|，因此总的来说，当b增加时，q + b也在增加，但q + b必须小于p/2. f1 航向 帆 A w B2. 只要b < p/2，且s1/s2足够大，总能使q + b < p/2，且使推力在AB上的投影为正. 但b接近p/2速度会很小，这时应把航向从东北改为东南.第3章 量纲分析法建模3.1 量纲齐次原则物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，其它物理量的量纲可由基本量纲导出.长度l，质量m，时间t的量纲为基本量纲，记为L，M和T. 则速度v和加速度a的量纲分别为LT -1，LT -2. 力f的量纲由f = ma 应为LMT -2.有些物理常数也有量纲，如万有引力定律f = km1m2/r2中的引力常数k，由k = fr2/m1m2可知其量纲应为LMT -2L2M-2 = L3M-1T -2.通常，一个物理量q的量纲记为q，于是有l = L, m = M, t = T, v = LT -1, a = LT -2, f = LMT -2, k = L3M-1T -2.对于无量纲量a，有a = 1.用数学公式表示一个物理定律时，等号两端的量纲必须一致，称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity). 量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求物理量之间的关系. 先看一例：单摆运动 质量为m的小球吊在长度为l的线的一端，线的另一端固定. 稍离平衡位置后的小球在重力mg的作用下作往复摆动，忽略阻力，求摆动周期T的表达式.此问题中有物理量t, m, l, g，设它们之间有关系式t = lma1la2ga3, (1)其中a1、a2、a3是待定参数，l是无量纲的比例系数. 比较上式的量纲有t = ma1la2ga3,即T = Ma1La2LT -2a3 = La2+a3Ma1T -2a3 (3)按照量纲齐次原则有a1 = 0, a2+a3 = 0, -2a3 = 1 à a1 = 0, a2 = 1/2, a3 = -1/2.代入(1)得t = l, (4)此结果与有关力学公式是一致的. 可由实验数据和最小二乘法得到.若考虑的更精细些，t应与小球偏离平衡位置的角度q有关，但q是无量纲量，其影响反映在系数l中，即l = l(q). 当q很小时，l » 2p.以此为例导出量纲分析的一般方法，将此例中各变量间的关系写作f(t, m, l, g) = 0, (5)进而假设(5)式形如ty1my2ly3gy4 = p, (6)其中y1 y4为待定常数，p为无量纲常数(不代表圆周率). 将t, m, l, g, p的量纲用基本量纲L, M, T表示为t = L0M0T1,m = L0M1T0,1 = L1M0T0, (7)g = L1M0T -2,p = L0M0T0,代入(6)有(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3(L1M0T -2)y4 = (L0M0T0)0,比较各基本量纲L、M、T的次数，知y1y4应满足齐次线性方程组0y1+0y2+y3+y4 = 0,0y1+y2+0y3+0y4 = 0, (8)y1+0y2+0y3-2y4 = 0,此方程组的系数矩阵A的各列即为各变量的量纲由基本量纲表示时各基本量纲的次数，而y = (y1, y2, y3, y4)T为Ay = 0的解.容易解得此方程组的一个基础解系为y = (2, 0, -1, 1)T, (9)代入(6)得t2l-1g = p. (10)由后面的定理可得(5)等价于F(p) = 0. (11)(10), (11)为用量纲齐次原则从(5)得到的一般结果，前面的(4)式为其特殊形式.把上述推导过程一般化，就是著名的Buckingham Pi定理.定理 设有m个物理量q1,qm,f(q1,qm) = 0 (12)是与量纲单位的选取无关的物理定律. X1,Xn是基本量纲，n £ m，q1,qm的量纲可表为qj = ,